İki nokta arası uzaklık formülü Test 1

Bir kenarı 8 birim olan karenin köşegen uzunluğu kaç birimdir?

A) 8
B) 8√2
C) 4√2
D) 16

Bu soruda, bir karenin köşegen uzunluğunu bulmamız isteniyor. Karelerin özel bir şekil olduğunu ve bu tür problemleri çözmek için kullanabileceğimiz harika matematiksel araçlar olduğunu unutmayalım. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:

• 1. Kareyi ve Köşegeni Anlayalım:

  Bir kare, dört kenarı birbirine eşit ve tüm iç açıları $90^\circ$ (dik açı) olan özel bir dörtgendir. Karenin köşegeni ise, birbirine komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.

• 2. Dik Üçgen Oluşturma:

  Bir karenin köşegenini çizdiğimizde, kareyi iki eş dik üçgene ayırmış oluruz. Bu dik üçgenlerin her birinin dik kenarları, karenin kenarlarıdır. Köşegen ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür (en uzun kenarı).

• 3. Pisagor Teoremini Hatırlayalım:

  Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasında özel bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi Pisagor Teoremi ile ifade ederiz: "Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir." Matematiksel olarak bunu $a^2 + b^2 = c^2$ şeklinde yazarız. Burada $a$ ve $b$ dik kenarlar, $c$ ise hipotenüstür.

• 4. Pisagor Teoremini Uygulayalım:

  Soruda karenin bir kenarının $8$ birim olduğu verilmiş. Bu durumda, oluşturduğumuz dik üçgenin dik kenarları da $8$ birim uzunluğundadır. Köşegen uzunluğuna $d$ diyelim. Yani, dik kenarlar $a=8$ birim ve $b=8$ birim, hipotenüs ise $c=d$ olacaktır. Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

  $8^2 + 8^2 = d^2$

  $64 + 64 = d^2$

  $128 = d^2$

• 5. Köşegen Uzunluğunu Bulalım:

  $d^2 = 128$ ise, $d$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:

  $d = \sqrt{128}$

  Şimdi $\sqrt{128}$ ifadesini sadeleştirelim. $128$ sayısını tam kare çarpanlarına ayıralım. $128 = 64 \times 2$ olduğunu biliyoruz ($64$ bir tam karedir, $8^2$).

  $d = \sqrt{64 \times 2}$

  $d = \sqrt{64} \times \sqrt{2}$

  $d = 8 \times \sqrt{2}$

  $d = 8\sqrt{2}$ birimdir.

• Ek Bilgi (Kısa Yol):

  Bir karenin köşegen uzunluğu, kenar uzunluğunun $\sqrt{2}$ katıdır. Eğer karenin bir kenarı $x$ ise, köşegen uzunluğu $x\sqrt{2}$ olur. Bu, 45-45-90 özel dik üçgeninin bir özelliğidir. Kenar $8$ birim olduğu için köşegen $8\sqrt{2}$ birimdir.

Bu adımları takip ettiğimizde, karenin köşegen uzunluğunun $8\sqrt{2}$ birim olduğunu buluruz.

Cevap B seçeneğidir.