Bir okulda 72 kız öğrenci ve 96 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrenciler, her grupta eşit sayıda ve sadece kız veya sadece erkek öğrenciler olacak şekilde gruplara ayrılacaktır. Buna göre, bir gruptaki öğrenci sayısı en fazla kaç olabilir?
A) 12Bu problemde, elimizdeki kız ve erkek öğrencileri, her grupta eşit sayıda öğrenci olacak şekilde ve grupların sadece kız veya sadece erkek öğrencilerden oluşacağı şekilde ayırmamız isteniyor. Amacımız, bir gruptaki öğrenci sayısının en fazla kaç olabileceğini bulmak.
Elimizde 72 kız öğrenci ve 96 erkek öğrenci var. Bu öğrencileri gruplara ayıracağız. Önemli koşullar şunlar:
- Her gruptaki öğrenci sayısı eşit olmalı.
- Gruplar ya sadece kız öğrencilerden ya da sadece erkek öğrencilerden oluşmalı.
- Bir gruptaki öğrenci sayısı en fazla kaç olabilir?
Bir gruptaki öğrenci sayısı hem 72'yi hem de 96'yı tam bölen bir sayı olmalı ki, gruplar eşit sayıda öğrenciden oluşabilsin ve hiç öğrenci artmasın. Ayrıca, bu sayının en büyük olmasını istiyoruz. Bu durumda, 72 ve 96 sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulmamız gerekiyor. EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır.
EBOB'u bulmak için sayılarımızı asal çarpanlarına ayıralım:
72 sayısının asal çarpanları:
$72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$
96 sayısının asal çarpanları:
$96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3^1$
Şimdi bu iki sayının ortak asal çarpanlarını ve bunların en küçük üslerini alarak EBOB'u bulalım:
Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
2'nin en küçük üssü $2^3$ (çünkü 72'de $2^3$, 96'da $2^5$ var).
3'ün en küçük üssü $3^1$ (çünkü 72'de $3^2$, 96'da $3^1$ var).
EBOB $(72, 96) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$
Bulduğumuz EBOB değeri olan 24, bir gruptaki öğrenci sayısının en fazla kaç olabileceğini gösterir.
Eğer bir grupta 24 öğrenci olursa:
- Kız öğrenciler: $72 \div 24 = 3$ grup kız öğrenci oluşur.
- Erkek öğrenciler: $96 \div 24 = 4$ grup erkek öğrenci oluşur.
Gördüğünüz gibi, hem kız hem de erkek öğrenciler eşit sayıda gruplara ayrıldı ve hiç öğrenci artmadı. Ayrıca, bu sayı olabilecek en büyük sayıdır.
Cevap C seçeneğidir.
