Diferansiyel kavramı nedir (dx) Test 2

2. y = x³ - 2x fonksiyonu veriliyor. Buna göre dy aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) (3x² - 2)dx
B) 3x² - 2
C) 3x²dx
D) (x³ - 2x)dx

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir fonksiyonun diferansiyelini ($dy$) nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Diferansiyel, bir fonksiyonun küçük bir değişimini ifade etmemize yardımcı olan önemli bir kavramdır.

• 1. Adım: Diferansiyel Kavramını Anlayalım

  Bir $y = f(x)$ fonksiyonu verildiğinde, $y$'nin diferansiyeli ($dy$), fonksiyonun türevi ile $x$'in diferansiyelinin ($dx$) çarpımına eşittir. Yani, $dy = f'(x)dx$ veya $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right)dx$ şeklinde ifade edilir.

• 2. Adım: Fonksiyonumuzu Belirleyelim

  Bize verilen fonksiyon $y = x^3 - 2x$ şeklindedir.

• 3. Adım: Fonksiyonun Türevini Bulalım

  Şimdi, $y = x^3 - 2x$ fonksiyonunun $x$'e göre türevini ($\frac{dy}{dx}$) almamız gerekiyor. Türev alma kurallarını hatırlayalım:

  • $x^n$'nin türevi $nx^{n-1}$'dir.
  • Sabit bir sayının bir fonksiyonla çarpımının türevi, sabitle fonksiyonun türevinin çarpımıdır.

  Bu kuralları uygulayalım:

  • $x^3$'ün türevi: $3x^{3-1} = 3x^2$
  • $-2x$'in türevi: $-2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -2x^0 = -2 \cdot 1 = -2$

  Bu durumda, fonksiyonun türevi:

  $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$ olur.

• 4. Adım: Diferansiyeli ($dy$) Hesaplayalım

  Diferansiyel tanımına göre, $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right)dx$ idi. Bulduğumuz türevi yerine yazarsak:

  $dy = (3x^2 - 2)dx$ sonucunu elde ederiz.

• 5. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz $dy = (3x^2 - 2)dx$ ifadesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin doğru olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.