Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fonksiyonun türevini bulmamız isteniyor. Fonksiyonumuz $f(x) = (3x^2 + 2)^5$ şeklinde. Bu tür fonksiyonların türevini alırken Zincir Kuralı'nı kullanmamız gerekir. Hadi adım adım bu kuralı uygulayalım:
- Adım 1: Zincir Kuralı'nı Hatırlayalım
- Zincir Kuralı, iç içe geçmiş fonksiyonların türevini almamızı sağlar. Eğer bir fonksiyon $y = [g(x)]^n$ şeklinde ise, türevi $y' = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ formülüyle bulunur. Yani, önce dıştaki kuvvet fonksiyonunun türevini alırız, sonra içteki fonksiyonun türeviyle çarparız.
- Adım 2: Fonksiyonumuzu Zincir Kuralı'na Uygun Hale Getirelim
- Verilen fonksiyon $f(x) = (3x^2 + 2)^5$. Bu fonksiyonu $y = [g(x)]^n$ formatına benzetirsek:
- İçteki fonksiyonumuz $g(x) = 3x^2 + 2$
- Kuvvetimiz $n = 5$
- Adım 3: İçteki Fonksiyonun Türevini Bulalım ($g'(x)$)
- Şimdi $g(x) = 3x^2 + 2$ fonksiyonunun türevini alalım:
- $g'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2)$
- Türev alma kurallarını uygulayarak: $\frac{d}{dx}(ax^n) = nax^{n-1}$ ve sabit terimin türevi $0$'dır.
- $g'(x) = 3 \cdot (2x^{2-1}) + 0$
- $g'(x) = 6x$
- Adım 4: Zincir Kuralı Formülünü Uygulayalım
- Şimdi bulduğumuz değerleri Zincir Kuralı formülü olan $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ içine yerleştirelim:
- $f'(x) = 5 \cdot (3x^2 + 2)^{5-1} \cdot (6x)$
- $f'(x) = 5 \cdot (3x^2 + 2)^4 \cdot (6x)$
- Adım 5: İfadeyi Sadeleştirelim
- Son olarak, çarpım durumundaki terimleri bir araya getirelim:
- $f'(x) = (5 \cdot 6x) \cdot (3x^2 + 2)^4$
- $f'(x) = 30x(3x^2 + 2)^4$
Böylece fonksiyonun türevini $30x(3x^2 + 2)^4$ olarak bulmuş olduk. Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
