Bu soruda, karekök alma işleminin temel bir özelliğini hatırlayacağız. Karekök, bir sayının karesi alındığında elde edilen sayıyı geri veren bir işlemdir. Ancak burada çok önemli bir kural var: Karekökün sonucu asla negatif olamaz!
- Öncelikle, karekök sembolünün ($ \sqrt{} $) tanımını hatırlayalım. Bir sayının karekökü, karesi o sayıya eşit olan negatif olmayan sayıdır. Örneğin, $ \sqrt{9} = 3 $ çünkü $ 3^2 = 9 $ ve $ 3 $ pozitif bir sayıdır. $ \sqrt{9} $ asla $ -3 $ olamaz, çünkü karekök tanımı gereği sonuç pozitif veya sıfır olmalıdır.
- Şimdi $ \sqrt{a^2} $ ifadesini inceleyelim. Burada $a$ bir sayı. $a$ pozitif de olabilir, negatif de olabilir, sıfır da olabilir.
- Durum 1: $a$ pozitif bir sayı ise (örneğin $a=5$). Bu durumda $ \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 $ olur. Sonuç $a$'nın kendisine eşit oldu.
- Durum 2: $a$ negatif bir sayı ise (örneğin $a=-5$). Bu durumda $ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 $ olur. Dikkat edin, sonuç $5$ oldu, $a$'nın kendisi olan $ -5 $ değil. Sonuç $a$'nın pozitif hali oldu. Bu da $ -a $ demektir, çünkü $ -(-5) = 5 $.
- Durum 3: $a$ sıfır ise (örneğin $a=0$). Bu durumda $ \sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0 $ olur. Sonuç $a$'nın kendisine eşit oldu.
- Gördüğümüz gibi, $ \sqrt{a^2} $ ifadesinin sonucu her zaman pozitif veya sıfır olmak zorundadır. $a$ pozitifken $a$, $a$ negatifken $ -a $ (yani yine pozitif) ve $a$ sıfırken $0$ sonucunu veriyor.
- Bu davranışı matematiksel olarak özetleyen bir fonksiyon vardır: Mutlak Değer Fonksiyonu. Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfır bir değer döndürür. Mutlak değerin tanımı şöyledir: Eğer $ a \ge 0 $ ise, $ |a| = a $. Eğer $ a < 0 $ ise, $ |a| = -a $.
- Şimdi $ \sqrt{a^2} $ ifadesinin sonuçlarını mutlak değer tanımıyla karşılaştıralım:
- Eğer $a$ pozitifse, $ \sqrt{a^2} = a $ ve $ |a| = a $. İfadeler birbirine eşittir.
- Eğer $a$ negatifse, $ \sqrt{a^2} = -a $ (örneğin $ \sqrt{(-5)^2} = 5 $ ve $ -(-5) = 5 $) ve $ |a| = -a $. İfadeler birbirine eşittir.
- Eğer $a$ sıfırsa, $ \sqrt{a^2} = 0 $ ve $ |a| = 0 $. İfadeler birbirine eşittir.
Bu nedenle, $ \sqrt{a^2} $ ifadesi her zaman $ |a| $ ifadesine eşittir.
Cevap C seçeneğidir.
