e sayısı aşağıdaki hangi fonksiyonun türevi kendisine eşit olan fonksiyondur?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, türevi kendisine eşit olan bir fonksiyonu arıyoruz. Bu, matematik ve özellikle kalkülüs için çok özel ve önemli bir özelliktir. Şimdi her bir seçeneği adım adım inceleyelim ve türevlerini bulalım:
Üstel fonksiyonların türevini hatırlayalım. $a^x$ şeklindeki bir fonksiyonun türevi $a^x \cdot \ln(a)$ şeklindedir. Burada tabanımız özel bir sayı olan $e$ olduğu için, $\ln(e)$ değeri $1$'e eşittir.
O halde, $f(x) = e^x$ fonksiyonunun türevi:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \cdot \ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x$
Gördüğümüz gibi, bu fonksiyonun türevi, fonksiyonun kendisine eşittir ($f'(x) = f(x)$). Bu, $e^x$ fonksiyonunun en temel ve benzersiz özelliklerinden biridir.
Doğal logaritma fonksiyonunun türevini bulalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$
Bu, $f(x) = \ln(x)$ fonksiyonuna eşit değildir.
Bu bir kuvvet fonksiyonudur, yani $x^n$ şeklindedir. Kuvvet fonksiyonlarının türev kuralı $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$ şeklindedir. Burada $n$ yerine $e$ sayısı gelmektedir.
O halde, $f(x) = x^e$ fonksiyonunun türevi:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^e) = e \cdot x^{e-1}$
Bu, $f(x) = x^e$ fonksiyonuna eşit değildir.
Bu fonksiyonu $f(x) = e \cdot x^{-1}$ şeklinde yazabiliriz. Şimdi türevini alalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e \cdot x^{-1}) = e \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -e \cdot x^{-2} = -\frac{e}{x^2}$
Bu, $f(x) = e/x$ fonksiyonuna eşit değildir.
Yaptığımız incelemeler sonucunda, türevi kendisine eşit olan fonksiyonun $f(x) = e^x$ olduğunu açıkça gördük.
Cevap A seçeneğidir.
