Sıfır polinomu nedir Test 1

Bir matematik öğretmeni tahtaya "Sıfır polinomu: Tüm katsayıları sıfır olan polinom" yazmıştır.
Buna göre, R(x) = (p-2)x³ + (q²-9)x + (r+1) polinomu sıfır polinomu ise p + q + r toplamı kaçtır?

A) -6
B) -2
C) 2
D) 6

Bugün, matematik dersinde çok önemli bir kavram olan "sıfır polinomu"nu ve bu kavramı kullanarak bir problemi nasıl çözeceğimizi adım adım öğreneceğiz. Hazırsanız, başlayalım!

• Sıfır Polinomu Nedir?

  Soruda da belirtildiği gibi, bir polinomun sıfır polinomu olması demek, o polinomdaki tüm terimlerin katsayılarının sıfır olması demektir. Yani, $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ şeklinde bir polinom sıfır polinomu ise, tüm $a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ katsayıları $0$'a eşit olmalıdır.

• Verilen Polinomu İnceleyelim:

  Bize verilen polinom $R(x) = (p-2)x^3 + (q^2-9)x + (r+1)$ şeklindedir. Bu polinomun sıfır polinomu olduğu söyleniyor.

• Katsayıları Sıfıra Eşitleyelim:

  Sıfır polinomu tanımına göre, $R(x)$ polinomundaki her bir terimin katsayısını sıfıra eşitlemeliyiz:

  $x^3$ teriminin katsayısı: $(p-2)$ olmalı. O zaman $p-2 = 0$ denklemini kurarız.

  $x^2$ terimi: Bu polinomda görünmüyor. Bu, $x^2$ teriminin katsayısının zaten $0$ olduğu anlamına gelir. Yani bu terim için ek bir işlem yapmamıza gerek yok.

  $x$ teriminin katsayısı: $(q^2-9)$ olmalı. O zaman $q^2-9 = 0$ denklemini kurarız.

  Sabit terim (yani $x^0$ teriminin katsayısı): $(r+1)$ olmalı. O zaman $r+1 = 0$ denklemini kurarız.

  Şimdi bu denklemleri tek tek çözelim.

• $p$ Değerini Bulalım:

  $p-2 = 0$ denklemini çözmek için her iki tarafa $2$ ekleriz:

  $p-2+2 = 0+2$

  $p = 2$

• $q$ Değerini Bulalım:

  $q^2-9 = 0$ denklemini çözmek için önce $9$'u eşitliğin diğer tarafına atarız:

  $q^2 = 9$

  Hangi sayının karesi $9$ yapar? Hem $3$ hem de $-3$'ün karesi $9$ yapar. Bu yüzden $q$ için iki olası değer vardır:

  $q = 3$ veya $q = -3$

• $r$ Değerini Bulalım:

  $r+1 = 0$ denklemini çözmek için her iki taraftan $1$ çıkarırız:

  $r+1-1 = 0-1$

  $r = -1$

• $p+q+r$ Toplamını Hesaplayalım:

  Şimdi bulduğumuz $p$, $q$ ve $r$ değerlerini kullanarak $p+q+r$ toplamını hesaplayacağız. $q$ için iki farklı değerimiz olduğu için iki farklı durum incelememiz gerekecek:

  Durum 1: $q=3$ ise

  $p+q+r = 2 + 3 + (-1) = 5 - 1 = 4$

  Durum 2: $q=-3$ ise

  $p+q+r = 2 + (-3) + (-1) = 2 - 3 - 1 = -1 - 1 = -2$

  Seçeneklere baktığımızda, $4$ değeri seçeneklerde yokken, $-2$ değeri B seçeneğinde bulunmaktadır. Bu tür sorularda birden fazla olası sonuç çıktığında, seçeneklerde olan doğru cevabı bulana kadar kontrol etmeliyiz.

Bu durumda, $p+q+r$ toplamı $-2$'dir.

Cevap B seçeneğidir.