Bir karekök fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için, karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerektiğini bilmemiz gerekir. Çünkü gerçek sayılar kümesinde negatif sayıların karekökü tanımlı değildir.
-
Verilen fonksiyon $r(x) = \sqrt{x^2-4x+3}$ şeklindedir. Bu durumda, karekök içindeki ifade olan $x^2-4x+3$ ifadesinin $\ge 0$ olması gerekir. Yani, $x^2-4x+3 \ge 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
-
Öncelikle, $x^2-4x+3 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-1)(x-3) = 0$.
-
Denklemin kökleri $x-1=0 \Rightarrow x=1$ ve $x-3=0 \Rightarrow x=3$'tür.
-
Şimdi $x^2-4x+3 \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini belirlemek için işaret tablosu oluşturabiliriz veya parabolün grafiğini düşünebiliriz. $x^2$ teriminin katsayısı $1$ (pozitif) olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu da demektir ki, parabol kökler arasında negatif değerler alırken, köklerin dışında pozitif değerler alır.
-
Yani, $x^2-4x+3$ ifadesi $x \le 1$ veya $x \ge 3$ olduğunda sıfıra eşit veya sıfırdan büyük değerler alır.
-
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini aralık notasyonu ile yazarsak: $(-\infty, 1] \cup [3, \infty)$ elde ederiz.
Cevap A seçeneğidir.
