Menelaus teoremi Test 1

ABC üçgeninde [BC]'yi D, [CA]'yı E, [AB]'yi F noktalarında kesen bir doğru için AF/FB = 2, BD/DC = 3 ise CE/EA oranı kaçtır?

A) 1/6
B) 1/3
C) 2/3
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir üçgenin kenarlarını kesen bir doğru ile ilgili oranlar verilmiş ve bizden başka bir oranı bulmamız isteniyor. Bu tür problemler genellikle Menelaus Teoremi ile çözülür. Gelin adım adım bu teoremi uygulayarak soruyu çözelim.

• Menelaus Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Menelaus Teoremi, bir üçgenin kenarlarını (veya uzantılarını) kesen bir doğru için geçerli olan bir orantı bağıntısıdır. Eğer bir $ABC$ üçgeninin $AB$, $BC$, $CA$ kenarlarını (veya uzantılarını) kesen bir doğru sırasıyla $F$, $D$, $E$ noktalarından geçiyorsa, bu noktaların kenarları böldüğü parçaların oranlarının çarpımı 1'e eşittir. Yani:

  $\left(\frac{AF}{FB}\right) \cdot \left(\frac{BD}{DC}\right) \cdot \left(\frac{CE}{EA}\right) = 1$

  Bu formülü uygularken, üçgenin köşelerinden başlayıp doğru üzerindeki noktaya, oradan diğer köşeye geçerek oranları yazmaya dikkat edin. Örneğin, $A \to F \to B$, $B \to D \to C$, $C \to E \to A$ şeklinde bir döngü izleyebilirsiniz.

• Verilen Bilgileri Yerine Yazalım:

  Soruda bize şu bilgiler verilmiş:

  • $AF/FB = 2$
  • $BD/DC = 3$

  Bizden $CE/EA$ oranını bulmamız isteniyor.

• Menelaus Teoremi'ni Uygulayalım:

  Yukarıdaki formülde verilen oranları yerine yazalım:

  $\left(2\right) \cdot \left(3\right) \cdot \left(\frac{CE}{EA}\right) = 1$

• Denklemi Çözelim:

  Şimdi denklemi $CE/EA$ için çözelim:

  $6 \cdot \left(\frac{CE}{EA}\right) = 1$

  Her iki tarafı 6'ya bölersek:

  $\frac{CE}{EA} = \frac{1}{6}$

Böylece $CE/EA$ oranını $1/6$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.