10. Sınıf Üçgenin Kenarortayları ve Ağırlık Merkezi Test 1

Bir oyun geliştiricisi, üçgen şeklinde bir labirentin ağırlık merkezini G(3, 4) olarak programlamıştır. Labirentin iki köşesi A(1, 2) ve B(5, 3) olarak bilindiğine göre, üçüncü köşe olan C'nin koordinatları aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A) (3, 7)
B) (4, 6)
C) (3, 5)
D) (4, 7)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları ve iki köşesinin koordinatları verilmiş. Bizden üçüncü köşenin koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken, üçgenin ağırlık merkezi formülünü hatırlamamız çok önemlidir.

• Ağırlık Merkezi (Centroid) Formülü: Bir üçgenin köşeleri $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ ve $C(x_C, y_C)$ ise, ağırlık merkezi $G(x_G, y_G)$ şu formüllerle bulunur:

  $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

  $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

  Bu formüller, ağırlık merkezinin koordinatlarının, köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalaması olduğunu gösterir.
• Verilen Bilgileri Yerine Yazalım: Soruda bize verilen değerler şunlardır:
  • Ağırlık merkezi $G(3, 4)$, yani $x_G = 3$ ve $y_G = 4$.
  • Birinci köşe $A(1, 2)$, yani $x_A = 1$ ve $y_A = 2$.
  • İkinci köşe $B(5, 3)$, yani $x_B = 5$ ve $y_B = 3$.
  • Üçüncü köşe $C(x_C, y_C)$'yi bulmamız gerekiyor.
• $x_C$ Koordinatını Bulalım: Ağırlık merkezinin x-koordinatı formülünü kullanarak $x_C$'yi bulalım:

  $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

  $3 = \frac{1 + 5 + x_C}{3}$

  Şimdi denklemi çözelim:

  $3 \times 3 = 1 + 5 + x_C$

  $9 = 6 + x_C$

  $x_C = 9 - 6$

  $x_C = 3$

• $y_C$ Koordinatını Bulalım: Ağırlık merkezinin y-koordinatı formülünü kullanarak $y_C$'yi bulalım:

  $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

  $4 = \frac{2 + 3 + y_C}{3}$

  Şimdi denklemi çözelim:

  $4 \times 3 = 2 + 3 + y_C$

  $12 = 5 + y_C$

  $y_C = 12 - 5$

  $y_C = 7$

• Üçüncü Köşe C'nin Koordinatları: Bulduğumuz $x_C$ ve $y_C$ değerlerini birleştirerek C köşesinin koordinatlarını elde ederiz:

  $C(x_C, y_C) = C(3, 7)$

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.