10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo test 2

Bir üçgenin tabanı $10$ cm ve bu tabana ait yüksekliği $8$ cm'dir. Eğer taban sabit kalıp yükseklik $2$ katına çıkarılırsa, üçgenin alanı nasıl değişir?

A) Yarıya iner.
B) Değişmez.
C) $2$ katına çıkar.
D) $4$ katına çıkar.
E) $8$ katına çıkar.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir üçgenin alanının, yüksekliği değiştirildiğinde nasıl etkilendiğini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.

• Adım 1: Üçgenin Alan Formülünü Hatırlayalım

Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile bu tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

$A = rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$

• Adım 2: İlk Durumdaki Üçgenin Alanını Hesaplayalım

Soruda verilen ilk değerler şunlardır:

• Taban ($t_1$) = $10$ cm
• Yükseklik ($h_1$) = $8$ cm

Bu değerleri alan formülüne yerleştirelim:

$A_1 = rac{1}{2} \times 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}$

$A_1 = rac{1}{2} \times 80 \text{ cm}^2$

$A_1 = 40 \text{ cm}^2$

Yani, başlangıçtaki üçgenin alanı $40 \text{ cm}^2$'dir.

• Adım 3: Yüksekliğin Değiştiği Yeni Durumu Belirleyelim

Soruda belirtildiği gibi:

• Taban sabit kalıyor, yani yeni taban ($t_2$) = $10$ cm.
• Yükseklik $2$ katına çıkarılıyor. İlk yükseklik $8$ cm idi, o zaman yeni yükseklik ($h_2$) şu şekilde hesaplanır:

$h_2 = 2 \times h_1 = 2 \times 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm}$

• Adım 4: Yeni Durumdaki Üçgenin Alanını Hesaplayalım

Yeni taban ve yükseklik değerlerini kullanarak üçgenin yeni alanını ($A_2$) hesaplayalım:

• Yeni taban ($t_2$) = $10$ cm
• Yeni yükseklik ($h_2$) = $16$ cm

$A_2 = rac{1}{2} \times 10 \text{ cm} \times 16 \text{ cm}$

$A_2 = rac{1}{2} \times 160 \text{ cm}^2$

$A_2 = 80 \text{ cm}^2$

Yüksekliği $2$ katına çıkarıldığında üçgenin alanı $80 \text{ cm}^2$ oldu.

• Adım 5: Alanlardaki Değişimi Karşılaştıralım

Şimdi ilk alan ile yeni alanı karşılaştıralım:

• İlk alan ($A_1$) = $40 \text{ cm}^2$
• Yeni alan ($A_2$) = $80 \text{ cm}^2$

Görüldüğü gibi, $80 \text{ cm}^2$, $40 \text{ cm}^2$'nin tam $2$ katıdır ($80 = 2 \times 40$).

Bu da bize, taban sabit kalıp yükseklik $2$ katına çıkarıldığında, üçgenin alanının da $2$ katına çıktığını gösterir.

Cevap C seçeneğidir.