Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir sayının kaç tane pozitif tam sayı böleni olduğunu bulmak, sayı teorisinde sıkça karşılaştığımız ve oldukça pratik bir yöntemle çözebileceğimiz bir problemdir. Şimdi $180$ sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni olduğunu adım adım bulalım:
- Adım 1: Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma
- Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmanın ilk ve en önemli adımı, o sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır. $180$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- $180 \div 2 = 90$
- $90 \div 2 = 45$
- $45 \div 3 = 15$
- $15 \div 3 = 5$
- $5 \div 5 = 1$
- Bu durumda, $180$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$ şeklindedir. Bunu üslü ifade olarak yazarsak: $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$.
- Burada $2$, $3$ ve $5$ asal sayılardır. Üsler ise sırasıyla $2$, $2$ ve $1$'dir.
- Adım 2: Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısını Bulma Formülünü Uygulama
- Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, her bir asal çarpanın üssünü $1$ artırıp bu artırılmış üsleri birbiriyle çarparak bulunur. Yani formül: $(a_1+1) \times (a_2+1) \times \ldots \times (a_k+1)$'dir.
- Şimdi bu formülü $180$ sayısı için uygulayalım:
- $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$
- Asal çarpanların üsleri: $a_1 = 2$ (için $2^2$), $a_2 = 2$ (için $3^2$), $a_3 = 1$ (için $5^1$).
- Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı: $(2+1) \times (2+1) \times (1+1)$
- Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı: $3 \times 3 \times 2$
- Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı: $18$
Yani $180$ sayısının $18$ tane pozitif tam sayı böleni vardır.
Cevap C seçeneğidir.
