10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 3

36 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

36 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni olduğunu bulmak için iki farklı yöntem kullanabiliriz. İkisini de adım adım inceleyelim:

1. Yöntem: Asal Çarpanlara Ayırma ve Üsleri Kullanma (Daha Genel Bir Yöntem)

• Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmanın en etkili yolu, o sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır. Bu yöntem, özellikle büyük sayılar için çok kullanışlıdır.
• Öncelikle 36 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

  $36 = 2 \times 18$
  $18 = 2 \times 9$
  $9 = 3 \times 3$
  $3 = 3 \times 1$

  Yani, 36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Bu çarpanları üslü ifade şeklinde yazarsak: $36 = 2^2 \times 3^2$.
• Asal çarpanlara ayırdığımızda, sayıyı genel olarak $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$ şeklinde yazarız. Burada $p$ harfleri asal sayıları, $a$ harfleri ise bu asal sayıların üslerini temsil eder.
• Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Yani, $(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)$ formülüyle bulunur.
• Bizim örneğimizde, $36 = 2^2 \times 3^2$ olduğu için, asal çarpanlar 2 ve 3, üsleri ise 2 ve 2'dir.
• Formülü uygulayalım: $(2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9$.
• Demek ki 36 sayısının 9 tane pozitif tam sayı böleni vardır.

2. Yöntem: Bölenleri Tek Tek Listeleme (Küçük Sayılar İçin Pratik)

• Bu yöntem, özellikle küçük sayılar için pratik ve kontrol amaçlı kullanılabilir. 36 gibi bir sayı için tüm bölenleri kolayca listeleyebiliriz.
• 36 sayısını tam bölen pozitif tam sayıları sırasıyla yazalım:

  1 (çünkü $1 \times 36 = 36$)
  2 (çünkü $2 \times 18 = 36$)
  3 (çünkü $3 \times 12 = 36$)
  4 (çünkü $4 \times 9 = 36$)
  6 (çünkü $6 \times 6 = 36$)
  9 (çünkü $9 \times 4 = 36$)
  12 (çünkü $12 \times 3 = 36$)
  18 (çünkü $18 \times 2 = 36$)
  36 (çünkü $36 \times 1 = 36$)

• Listelediğimiz bölenleri sayalım: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Toplamda 9 tane bölen vardır.

Her iki yöntem de bize 36 sayısının 9 tane pozitif tam sayı böleni olduğunu gösterdi. Bu tür soruları çözerken asal çarpanlara ayırma yöntemini öğrenmek, daha büyük sayılar için size büyük kolaylık sağlayacaktır.

Cevap D seçeneğidir.