10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 3

EBOB(A, B) = 6 ve EKOK(A, B) = 72 olan A ve B doğal sayıları için A + B toplamı en az kaçtır?

A) 30
B) 42
C) 54
D) 60
E) 78

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde EBOB ve EKOK kavramlarını kullanarak iki doğal sayının toplamının en küçük değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. EBOB ve EKOK Arasındaki Temel İlişkiyi Hatırlayalım:
• İki doğal sayı olan $A$ ve $B$ için, bu sayıların çarpımı, EBOB'ları ile EKOK'larının çarpımına eşittir. Yani, $A \times B = \text{EBOB}(A, B) \times \text{EKOK}(A, B)$ formülü geçerlidir.
• Soruda verilen değerleri yerine yazalım:
• $A \times B = 6 \times 72$
• $A \times B = 432$
• 2. Sayıları EBOB Cinsinden İfade Edelim:
• EBOB$(A, B) = 6$ olduğu için, $A$ ve $B$ sayıları $6$'nın birer katı olmalıdır.
• Bu durumda $A = 6k$ ve $B = 6m$ şeklinde yazabiliriz.
• Burada $k$ ve $m$ birer doğal sayıdır ve en önemlisi, $k$ ile $m$ aralarında asal olmalıdır (yani $\text{EBOB}(k, m) = 1$). Eğer $k$ ve $m$ aralarında asal olmazsa, EBOB$(A, B)$ değeri $6$'dan daha büyük olurdu.
• 3. $k$ ve $m$ Değerlerini Bulalım:
• $A \times B = 432$ eşitliğinde $A = 6k$ ve $B = 6m$ ifadelerini yerine yazalım:
• $(6k) \times (6m) = 432$
• $36km = 432$
• Her iki tarafı $36$'ya bölelim:
• $km = \frac{432}{36}$
• $km = 12$
• 4. Aralarında Asal $k$ ve $m$ Çiftlerini Bulalım:
• Çarpımları $12$ olan ve aralarında asal olan $k$ ve $m$ doğal sayı çiftlerini bulmalıyız:
• Çift 1: $k=1$, $m=12$. $\text{EBOB}(1, 12) = 1$ olduğu için bu çift geçerlidir.
• Çift 2: $k=2$, $m=6$. $\text{EBOB}(2, 6) = 2$ olduğu için bu çift aralarında asal değildir, geçersizdir.
• Çift 3: $k=3$, $m=4$. $\text{EBOB}(3, 4) = 1$ olduğu için bu çift geçerlidir.
• $k$ ve $m$ yer değiştirdiğinde ($k=12, m=1$ veya $k=4, m=3$) $A$ ve $B$ sayıları da yer değiştirecek, ancak $A+B$ toplamı aynı kalacaktır. Bu yüzden sadece bu iki ana çifti incelememiz yeterlidir.
• 5. $A+B$ Toplamının Değerlerini Hesaplayalım:
• Şimdi bulduğumuz geçerli $k$ ve $m$ çiftlerini kullanarak $A$ ve $B$ sayılarını ve $A+B$ toplamını hesaplayalım:
• Durum 1: $k=1$ ve $m=12$ için
• $A = 6k = 6 \times 1 = 6$
• $B = 6m = 6 \times 12 = 72$
• $A + B = 6 + 72 = 78$
• Durum 2: $k=3$ ve $m=4$ için
• $A = 6k = 6 \times 3 = 18$
• $B = 6m = 6 \times 4 = 24$
• $A + B = 18 + 24 = 42$
• 6. En Küçük Toplamı Bulalım:
• Hesapladığımız $A+B$ toplamları $78$ ve $42$'dir. Bu değerler arasında en küçük olanı $42$'dir.

Cevap B seçeneğidir.