10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 6. senaryo Test 2

Bir $A$ doğal sayısı 7'ye bölündüğünde kalan 3'tür. Buna göre, $A+5$ sayısı 7'ye bölündüğünde kalan kaç olur?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu tür sorular, bölme ve kalan kavramlarını anlamamızı gerektiren temel matematik problemleridir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.

• 1. Adım: Soruyu Anlayalım

  Soruda bize bir $A$ doğal sayısının 7'ye bölündüğünde kalanın 3 olduğu söyleniyor. Bu ifadeyi matematiksel olarak şöyle yazabiliriz:

  $A = 7 \times k + 3$

  Burada $k$ bir tam sayıdır (bölüm). Yani $A$ sayısı, 7'nin bir katından 3 fazladır.

  Örnek: Eğer $k=0$ ise $A=3$. $3 \div 7$ kalan 3'tür. Eğer $k=1$ ise $A=10$. $10 \div 7$ kalan 3'tür. Eğer $k=2$ ise $A=17$. $17 \div 7$ kalan 3'tür.

• 2. Adım: Neyi Bulmamız Gerekiyor?

  Bizden istenen, $A+5$ sayısının 7'ye bölündüğünde kalanın kaç olduğudur.

• 3. Adım: $A+5$ İfadesini Yazalım

  İlk adımda bulduğumuz $A = 7k + 3$ ifadesini alıp, $A+5$ ifadesinde yerine yazalım:

  $A+5 = (7k + 3) + 5$

  $A+5 = 7k + 8$

• 4. Adım: Kalanı Bulalım

  Şimdi elimizde $A+5 = 7k + 8$ ifadesi var. Bu ifadeyi 7'ye böldüğümüzde kalanı bulmak istiyoruz. Ancak 8 sayısı 7'den büyük olduğu için, 8'in içinde de bir tane 7 vardır. 8'i 7'ye böldüğümüzde kalan 1 olur ($8 = 1 \times 7 + 1$).

  Bu bilgiyi $A+5 = 7k + 8$ ifadesinde yerine yazalım:

  $A+5 = 7k + (7 + 1)$

  $A+5 = 7k + 7 + 1$

  Şimdi ilk iki terimi 7 ortak parantezine alabiliriz:

  $A+5 = 7(k + 1) + 1$

  Burada $k$ bir tam sayı olduğu için, $k+1$ de bir tam sayıdır. Bu durumda, $A+5$ sayısı 7'nin bir katından 1 fazladır.

  Bu da demektir ki, $A+5$ sayısı 7'ye bölündüğünde kalan 1'dir.

• 5. Adım: Alternatif Yöntem (Modüler Aritmetik)

  Daha pratik bir yol olarak modüler aritmetik kullanabiliriz:

  Bize $A$'nın 7'ye bölümünden kalanın 3 olduğu verilmiş. Bunu şöyle ifade ederiz:

  $A \equiv 3 \pmod{7}$

  Bizden $A+5$'in 7'ye bölümünden kalan isteniyor. Her iki tarafa 5 ekleyebiliriz:

  $A+5 \equiv 3+5 \pmod{7}$

  $A+5 \equiv 8 \pmod{7}$

  Şimdi 8'in 7'ye bölümünden kalanı bulmalıyız. $8 = 1 \times 7 + 1$ olduğu için, 8'in 7'ye bölümünden kalan 1'dir.

  $A+5 \equiv 1 \pmod{7}$

  Bu da $A+5$ sayısının 7'ye bölündüğünde kalanın 1 olduğunu gösterir.

Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. $A+5$ sayısı 7'ye bölündüğünde kalan 1'dir.

Cevap B seçeneğidir.