9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl? Test 1

Bir sınıfta herkes birbiriyle tokalaştığında 190 tokalaşma olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?

A) 18
B) 19
C) 20
D) 21

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, bir gruptaki herkesin birbiriyle tokalaşması durumunda gerçekleşen toplam tokalaşma sayısını bulma veya bu sayıdan yola çıkarak grup mevcudunu bulma üzerine kurulu klasik bir kombinasyon sorusudur. Adım adım nasıl çözeceğimize bakalım:

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Temel Prensibi Belirleyelim

  Bir sınıfta herkes birbiriyle tokalaşıyor. Bu ne demek? Her tokalaşma için iki kişiye ihtiyaç duyarız. Yani, sınıftaki belirli sayıda kişi arasından rastgele iki kişi seçtiğimizde bir tokalaşma gerçekleşir. Bu durum, matematikte kombinasyon olarak adlandırılır.

  Eğer sınıfta $n$ kişi varsa ve herkes birbiriyle tokalaşıyorsa, toplam tokalaşma sayısı $n$ kişi arasından 2 kişi seçme sayısı kadardır. Bu da $C(n, 2)$ formülü ile ifade edilir.

• Adım 2: Tokalaşma Sayısı Formülünü Hatırlayalım

  $n$ kişi arasından 2 kişi seçme (tokalaşma) sayısı şu formülle hesaplanır:

  $C(n, 2) = \frac{n \times (n-1)}{2}$

  Soruda bize toplam tokalaşma sayısının 190 olduğu verilmiş.

• Adım 3: Denklemi Kuralım

  Şimdi bildiklerimizi formülde yerine koyarak bir denklem oluşturalım:

  $\frac{n \times (n-1)}{2} = 190$

• Adım 4: Denklemi Çözelim

  Denklemi çözerek $n$ değerini, yani sınıf mevcudunu bulacağız:

  • Öncelikle, eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
  • $n \times (n-1) = 190 \times 2$
  • $n \times (n-1) = 380$
  • Şimdi, çarpımları 380 olan ardışık iki tam sayı bulmamız gerekiyor. Bu tür durumlarda seçenekleri deneyebilir veya yaklaşık değerler düşünebiliriz.
  • Yaklaşık olarak, hangi sayının karesi 380'e yakındır? $20^2 = 400$ ve $19^2 = 361$. Demek ki $n$ sayısı 20 civarında olmalı.
  • Eğer $n=20$ olursa: $20 \times (20-1) = 20 \times 19 = 380$.
  • Gördüğümüz gibi, $n=20$ değeri denklemi sağlıyor.

  Bu durumda, sınıf mevcudu 20'dir.

  Alternatif Çözüm (İkinci Dereceden Denklem):

  $n \times (n-1) = 380$ denklemini $n^2 - n = 380$ şeklinde yazabiliriz. Bu da $n^2 - n - 380 = 0$ şeklinde bir ikinci dereceden denklemdir.

  Bu denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanabiliriz ($n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$):

  • Burada $a=1$, $b=-1$, $c=-380$.
  • Diskriminant ($\Delta$) = $b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-380) = 1 + 1520 = 1521$.
  • $\sqrt{1521} = 39$.
  • $n = \frac{-(-1) \pm 39}{2 \times 1} = \frac{1 \pm 39}{2}$.
  • İki olası çözüm vardır:
  • $n_1 = \frac{1 + 39}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
  • $n_2 = \frac{1 - 39}{2} = \frac{-38}{2} = -19$.
  • Sınıf mevcudu negatif olamayacağı için doğru cevap $n=20$'dir.

Cevap C seçeneğidir.