9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl? Test 1

n kişilik bir grupta tokalaşma sayısı 55 ise n kaçtır?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 13

Bu problem, bir gruptaki kişi sayısı ile yapılan tokalaşma sayısı arasındaki ilişkiyi anlamamızı gerektiriyor. Tokalaşma, iki kişi arasında gerçekleşen bir eylemdir.

• 1. Tokalaşma Mantığını Anlayalım:

  Bir tokalaşma için her zaman iki kişiye ihtiyaç vardır. Bir kişi kendisiyle tokalaşamaz. Ayrıca, Ayşe'nin Mehmet'le tokalaşması ile Mehmet'in Ayşe'yle tokalaşması aynı olaydır, yani tokalaşmada kişilerin sırası önemli değildir.

• 2. Matematiksel Formülü Bulalım:

  Bu durum, $n$ kişi arasından 2 kişi seçme problemine denktir. Matematikte bu tür seçimlere "kombinasyon" denir ve $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir. Bizim durumumuzda $k=2$ olduğu için formülümüz $\binom{n}{2}$ olacaktır.

  Kombinasyon formülü şu şekildedir: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  Bizim için $k=2$ olduğundan, formülü açalım:

  $\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times 1 \times (n-2)!}$

  $(n-2)!$ ifadeleri sadeleşir ve geriye şu kalır:

  $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

  Bu formül, $n$ kişilik bir gruptaki toplam tokalaşma sayısını verir.

• 3. Denklemi Kuralım:

  Soruda tokalaşma sayısının 55 olduğu verilmiş. O halde, bulduğumuz formülü 55'e eşitleyelim:

  $\frac{n(n-1)}{2} = 55$

• 4. Denklemi Çözelim:

  Denklemi çözmek için her iki tarafı 2 ile çarpalım:

  $n(n-1) = 55 \times 2$

  $n(n-1) = 110$

  Şimdi, ardışık iki sayının çarpımının 110 olduğu bir $n$ değeri arıyoruz. Seçenekleri kullanarak veya deneme yanılma yoluyla bulabiliriz:

  • Eğer $n=10$ olsaydı, $10 \times (10-1) = 10 \times 9 = 90$. (Bu 110'dan küçük)
  • Eğer $n=11$ olsaydı, $11 \times (11-1) = 11 \times 10 = 110$. (Tam da aradığımız değer!)

  Matematiksel olarak çözmek istersek, denklemi açarak ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:

  $n^2 - n = 110$

  $n^2 - n - 110 = 0$

  Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -110 ve toplamları -1 olan iki sayı -11 ve 10'dur.

  $(n-11)(n+10) = 0$

  Buradan iki olası $n$ değeri çıkar:

  $n-11 = 0 \Rightarrow n = 11$

  $n+10 = 0 \Rightarrow n = -10$

  Kişi sayısı negatif olamayacağı için $n=11$ doğru cevaptır.

• 5. Sonucu Kontrol Edelim:

  Eğer grupta 11 kişi varsa, tokalaşma sayısı $\frac{11 \times (11-1)}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = \frac{110}{2} = 55$ olur. Bu da soruda verilen bilgiyle tamamen uyuşmaktadır.

Cevap B seçeneğidir.