9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl? Test 1

Bir grupta tokalaşma sayısı 78 olduğuna göre grupta kaç kişi vardır?

A) 12
B) 13
C) 14
D) 15

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, bir gruptaki kişi sayısı ile yapılan tokalaşma sayısı arasındaki ilişkiyi anlamamızı gerektiren klasik bir kombinasyon sorusudur. Adım adım nasıl çözdüğümüze bakalım:

• Problemi Anlayalım:

  Bir gruptaki her kişi, kendisi hariç gruptaki diğer herkesle bir kez tokalaşır. Örneğin, 3 kişilik bir grupta (A, B, C), A, B ile ve C ile tokalaşır. B, A ile (zaten sayıldı) ve C ile tokalaşır. C, A ile (zaten sayıldı) ve B ile (zaten sayıldı) tokalaşır. Yani toplamda 3 tokalaşma olur (AB, AC, BC).

• Matematiksel İlişkiyi Kuralım:

  Eğer grupta $n$ kişi varsa, her kişi diğer $n-1$ kişiyle tokalaşır. Bu durumda $n \times (n-1)$ gibi bir çarpım aklımıza gelebilir. Ancak bu çarpım, her tokalaşmayı iki kez sayar (örneğin, A'nın B ile tokalaşması ve B'nin A ile tokalaşması ayrı ayrı sayılmış olur). Bu yüzden, toplam tokalaşma sayısını bulmak için bu çarpımı 2'ye bölmemiz gerekir.

  Tokalaşma sayısı formülü şöyledir: $Tokalaşma Sayısı = \frac{n \times (n-1)}{2}$

• Denklemi Kuralım:

  Soruda tokalaşma sayısının 78 olduğu verilmiş. Bu bilgiyi formülümüze yerleştirelim:

  $\frac{n \times (n-1)}{2} = 78$

• Denklemi Çözelim:

  Şimdi $n$ değerini bulmak için denklemi çözmeliyiz:

  • Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
  • $n \times (n-1) = 78 \times 2$
  • $n \times (n-1) = 156$
  • Şimdi, çarpımları 156 olan ardışık iki sayı bulmamız gerekiyor. Seçenekleri deneyerek veya tahmin yürüterek bulabiliriz:
  • A) 12 olsaydı: $12 \times (12-1) = 12 \times 11 = 132$ (78'den küçük)
  • B) 13 olsaydı: $13 \times (13-1) = 13 \times 12 = 156$ (Doğru cevabı bulduk!)
  • (Eğer denklemi çözmek isteseydik: $n^2 - n - 156 = 0$ denklemini çarpanlarına ayırarak $(n-13)(n+12)=0$ bulurduk. Kişi sayısı negatif olamayacağı için $n=13$ olurdu.)
• Sonucu Kontrol Edelim:

  Eğer grupta 13 kişi varsa, tokalaşma sayısı $\frac{13 \times (13-1)}{2} = \frac{13 \times 12}{2} = \frac{156}{2} = 78$ olur. Bu da soruda verilen bilgiyle eşleşmektedir.

Cevap B seçeneğidir.