Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
$x^2 + 3x + 2 > 0$
$x^2 - 2x + 1 \ge 0$
A) $(-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$
B) $(-\infty, -2) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$
C) $(-2, -1)$
D) $\mathbb{R} \setminus \{1\}$
E) Boş küme
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulacağız. İki ayrı eşitsizliği çözüp, bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini alarak sonuca ulaşacağız. Adım adım ilerleyelim:
-
1. Eşitsizliği Çözelim:
İlk eşitsizliğimiz $x^2 + 3x + 2 > 0$.
- Öncelikle bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $2$ ve toplamları $3$ olan iki sayı $1$ ve $2$'dir.
- Bu durumda eşitsizliği $(x+1)(x+2) > 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Şimdi bu ifadenin köklerini bulalım: $x+1=0 \Rightarrow x_1 = -1$ ve $x+2=0 \Rightarrow x_2 = -2$.
- Bu bir parabol denklemi olup, baş katsayısı ($x^2$'nin katsayısı) $1$ olduğu için parabolün kolları yukarıya doğrudur.
- Kökler $-2$ ve $-1$ olduğuna göre, ifade köklerin dışında pozitif değerler alır.
- Yani, $x^2 + 3x + 2 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $S_1 = (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$'dir.
-
2. Eşitsizliği Çözelim:
İkinci eşitsizliğimiz $x^2 - 2x + 1 \ge 0$.
- Bu ifadeyi dikkatlice incelediğimizde, bir tam kare ifade olduğunu görebiliriz. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ formülünü hatırlayalım.
- Burada $a=x$ ve $b=1$ alırsak, $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ olur.
- Eşitsizliğimiz $(x-1)^2 \ge 0$ şeklini alır.
- Bir sayının karesi her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Bu kural tüm gerçek sayılar için geçerlidir.
- Dolayısıyla, $(x-1)^2 \ge 0$ eşitsizliği tüm gerçek sayılar için doğrudur.
- Yani, $x^2 - 2x + 1 \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $S_2 = \mathbb{R}$ (tüm gerçek sayılar)'dir.
-
3. Çözüm Kümelerinin Kesişimini Bulalım:
- Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, bulduğumuz $S_1$ ve $S_2$ çözüm kümelerinin kesişimidir ($S_1 \cap S_2$).
- $S_1 = (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$
- $S_2 = \mathbb{R}$
- Bu iki kümenin kesişimi, $S_1$ kümesinin kendisidir, çünkü $S_1$ kümesi $\mathbb{R}$'nin bir alt kümesidir.
- Yani, çözüm kümesi $S = (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$'dir.
Bu çözüm kümesi seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
