Bu soruyu çözmek için, bileşke fonksiyonların türevini alırken kullandığımız Zincir Kuralı'nı uygulayacağız. Fonksiyonumuz $f(x) = (2x-1)^3$ şeklindedir.
- Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama
Verilen fonksiyon $f(x) = (2x-1)^3$ şeklindedir. Bu fonksiyon, bir iç fonksiyonun ($g(x) = 2x-1$) bir kuvveti ($n=3$) olarak düşünülebilir. Yani, $f(x) = [g(x)]^n$ formundadır.
- Adım 2: Zincir Kuralını Hatırlama
Zincir Kuralı'na göre, eğer $f(x) = [g(x)]^n$ ise, türevi $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ şeklinde bulunur. Yani, önce dıştaki kuvvet fonksiyonunun türevini alırız, sonra içteki fonksiyonun türevi ile çarparız.
- Adım 3: İç ve Dış Fonksiyonları Belirleme
Bizim fonksiyonumuzda:
- Dış fonksiyonun kuvveti $n=3$'tür.
- İç fonksiyon $g(x) = 2x-1$'dir.
- Adım 4: İç Fonksiyonun Türevini Bulma
İç fonksiyonumuz $g(x) = 2x-1$'dir. Bu fonksiyonun türevi $g'(x)$'i bulalım:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(2x-1)$
$g'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(1)$
$g'(x) = 2 - 0$
$g'(x) = 2$
- Adım 5: Zincir Kuralını Uygulama
Şimdi Zincir Kuralı formülünü kullanarak $f'(x)$'i hesaplayalım:
$f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
Burada $n=3$, $g(x)=2x-1$ ve $g'(x)=2$ değerlerini yerine koyalım:
$f'(x) = 3 \cdot (2x-1)^{3-1} \cdot 2$
$f'(x) = 3 \cdot (2x-1)^2 \cdot 2$
- Adım 6: İfadeyi Sadeleştirme
Son olarak, ifadeyi sadeleştirelim:
$f'(x) = (3 \cdot 2) \cdot (2x-1)^2$
$f'(x) = 6(2x-1)^2$
Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
