Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için, fonksiyonun birinci türevinin pozitif olduğu aralıkları incelememiz gerekir. Yani, $f'(x) > 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
- Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulma
- Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ bir bölüm fonksiyonudur. Bölüm kuralını kullanarak türevini alalım. Bölüm kuralı şöyledir: Eğer $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ise, $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.
- Burada $u(x) = x$ ve $v(x) = x^2+1$.
- $u'(x) = 1$
- $v'(x) = 2x$
- Şimdi bu değerleri bölüm kuralında yerine koyalım:
- $f'(x) = \frac{(1)(x^2+1) - (x)(2x)}{(x^2+1)^2}$
- $f'(x) = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2}$
- $f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$
- Adım 2: Türevin İşaretini İnceleme
- Fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için $f'(x) > 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz:
- $\frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} > 0$
- Bu eşitsizliği çözerken pay ve paydanın işaretlerini incelemeliyiz.
- Paydaya dikkat edelim: $(x^2+1)^2$. Herhangi bir $x$ gerçek sayısı için $x^2 \ge 0$ olduğundan, $x^2+1 \ge 1$ olur. Dolayısıyla $(x^2+1)^2$ her zaman pozitif bir sayıdır ve hiçbir zaman sıfır olmaz. Bu durum, paydanın eşitsizliğin işaretini değiştirmeyeceği anlamına gelir.
- Bu durumda, eşitsizliğin pozitif olması için sadece payın pozitif olması yeterlidir:
- $1 - x^2 > 0$
- Adım 3: Eşitsizliği Çözme
- $1 - x^2 > 0$ eşitsizliğini çözelim.
- $1 > x^2$
- Bu eşitsizlik, $x$'in karesinin $1$'den küçük olduğu anlamına gelir. Bu da $x$'in $-1$ ile $1$ arasında olması demektir.
- Yani, $-1 < x < 1$.
- Alternatif olarak, $x^2 - 1 < 0$ şeklinde yazıp çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-1)(x+1) < 0$. Bu eşitsizliğin kökleri $x=1$ ve $x=-1$'dir. İşaret tablosu yapıldığında veya bir parabolün grafiği düşünüldüğünde, $(x-1)(x+1)$ ifadesi kökler arasında negatif değerler alır. Bu da yine $-1 < x < 1$ aralığını verir.
- Adım 4: Artan Olduğu Aralığı Belirleme
- $f'(x) > 0$ eşitsizliğinin çözümü $(-1, 1)$ aralığıdır. Bu aralıkta fonksiyon artandır.
Cevap B seçeneğidir.
