Bu problemde, toplamları sabit olan iki pozitif sayının çarpımının en büyük değerini bulmamız isteniyor. Genel bir kural olarak, toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için bu sayıların birbirine en yakın olması gerekir. Eğer sayılar pozitif ve eşit olabilirse, eşit olduklarında çarpım en büyük değerini alır.
- Öncelikle, iki pozitif sayımızı $x$ ve $y$ olarak adlandıralım.
- Soruda verilen bilgiye göre, bu iki sayının toplamı $20$'dir:
$x + y = 20$
- Bizden bu iki sayının çarpımının ($x \cdot y$) en fazla kaç olabileceği isteniyor.
- $x + y = 20$ denkleminden $y$'yi $x$ cinsinden ifade edebiliriz:
$y = 20 - x$
- Şimdi bu ifadeyi çarpım denkleminde yerine yazalım:
$P = x \cdot y = x \cdot (20 - x)$
$P = 20x - x^2$
- Bu ifade, bir parabol denklemini temsil eder ($P(x) = -x^2 + 20x$). Parabolün kolları aşağı doğru olduğu için (çünkü $x^2$'nin katsayısı negatiftir), bu parabolün bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, parabolün tepe noktasında bulunur.
- Bir $ax^2 + bx + c$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Bizim denklemimizde $a = -1$ ve $b = 20$'dir.
- $x = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = -\frac{20}{-2} = 10$
- Yani, çarpımın en büyük olması için ilk sayımız ($x$) $10$ olmalıdır.
- Şimdi ikinci sayımızı ($y$) bulalım:
$y = 20 - x = 20 - 10 = 10$
- Gördüğümüz gibi, çarpımın en büyük olması için iki sayı da birbirine eşit ve $10$ olmalıdır.
- Son olarak, bu iki sayının çarpımını hesaplayalım:
$x \cdot y = 10 \cdot 10 = 100$
Bu sonuç, toplamları sabit olan sayıların çarpımının, sayıların birbirine en yakın (veya eşit) olduğu durumda en büyük olduğunu gösteren genel matematiksel prensiple de uyumludur.
Cevap C seçeneğidir.
