$f(x) = \sqrt{\sin(3x) + x^2}$ fonksiyonunun türevi olan $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{3\cos(3x) + 2x}{2\sqrt{\sin(3x) + x^2}}$
B) $\frac{\cos(3x) + 2x}{2\sqrt{\sin(3x) + x^2}}$
C) $\frac{3\cos(3x) + 2x}{\sqrt{\sin(3x) + x^2}}$
D) $\frac{\cos(3x) + 2x}{\sqrt{\sin(3x) + x^2}}$
E) $\frac{3\cos(3x) - 2x}{2\sqrt{\sin(3x) + x^2}}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bileşik fonksiyonların türevini alma becerimizi kullanarak $f(x) = \sqrt{\sin(3x) + x^2}$ fonksiyonunun türevini bulacağız. Bu tür soruları çözerken zincir kuralını doğru bir şekilde uygulamak çok önemlidir. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, verilen fonksiyonun genel yapısını inceleyelim. Fonksiyonumuz, bir kök fonksiyonunun içine başka bir fonksiyonun yerleştirilmesiyle oluşmuştur. Yani, $f(x) = \sqrt{u}$ formundadır, burada $u = \sin(3x) + x^2$ dir.
- Kök fonksiyonunun türev kuralını hatırlayalım: Eğer $f(x) = \sqrt{u}$ ise, $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$ dir. Burada $u'$, $u$'nun $x$'e göre türevidir.
- Şimdi, $u = \sin(3x) + x^2$ ifadesinin türevi olan $u'$ değerini bulalım. Bu ifade iki terimden oluştuğu için her bir terimin türevini ayrı ayrı alıp toplayacağız.
- İlk terim $\sin(3x)$'in türevini alalım. Bu da bir bileşik fonksiyondur. $\sin(v)$'nin türevi $\cos(v) \cdot v'$ olduğundan, $v = 3x$ için $v' = 3$ olur. Dolayısıyla, $\frac{d}{dx}(\sin(3x)) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$ dir.
- İkinci terim $x^2$'nin türevini alalım. Güç kuralına göre $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ olduğundan, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ dir.
- Şimdi $u'$ ifadesini birleştirelim: $u' = 3\cos(3x) + 2x$ dir.
- Son olarak, bulduğumuz $u$ ve $u'$ değerlerini $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$ formülünde yerine koyalım:
- $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x) + x^2}} \cdot (3\cos(3x) + 2x)$
- Bu ifadeyi daha düzenli bir şekilde yazarsak: $f'(x) = \frac{3\cos(3x) + 2x}{2\sqrt{\sin(3x) + x^2}}$ elde ederiz.
- Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
