12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 6. Senaryo Test 2

Çevresi $24$ birim olan bir dikdörtgenin alanı en fazla kaç birimkare olabilir?

A) $24$

B) $30$

C) $36$

D) $48$

E) $60$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler genellikle bir optimizasyon problemi olup, belirli bir koşul altında bir ifadenin maksimum veya minimum değerini bulmayı hedefler. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:

• 1. Dikdörtgenin Kenarlarını Tanımlayalım:

  Bir dikdörtgenin iki farklı kenar uzunluğu vardır (eğer kare değilse). Bu kenar uzunluklarına değişkenler atayalım. Kısa kenara $x$ birim, uzun kenara $y$ birim diyelim.

• 2. Çevre Bilgisini Kullanalım:

  Bir dikdörtgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Yani, $2 \cdot (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar})$ formülüyle bulunur. Soruda çevrenin $24$ birim olduğu verilmiş. O halde, bu bilgiyi bir denklem olarak yazabiliriz:

  $2x + 2y = 24$

  Bu denklemi $2$ ile sadeleştirirsek, kenarların toplamını buluruz:

  $x + y = 12$

• 3. Alan Formülünü Yazalım:

  Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımıdır. Alanı $A$ ile gösterirsek:

  $A = x \cdot y$

• 4. Alanı Tek Değişken Cinsinden İfade Edelim:

  Şu an alan formülünde iki değişken ($x$ ve $y$) var. Maksimum değeri bulabilmek için alanı tek bir değişkenin fonksiyonu olarak yazmamız gerekir. Bunun için çevre denkleminden ($x + y = 12$) bir değişkeni çekip alan formülünde yerine koyalım. Örneğin, $y$'yi $x$ cinsinden ifade edelim:

  $y = 12 - x$

  Şimdi bu ifadeyi alan formülünde yerine yazalım:

  $A = x \cdot (12 - x)$

  Bu ifadeyi dağıtırsak:

  $A = 12x - x^2$

  Veya daha düzenli bir şekilde:

  $A = -x^2 + 12x$

• 5. Maksimum Alanı Bulalım:

  Elde ettiğimiz $A = -x^2 + 12x$ ifadesi, $x$'e bağlı ikinci dereceden bir fonksiyondur (bir parabol denklemidir). Bu parabolün baş katsayısı (yani $x^2$'nin katsayısı) negatif ($-1$) olduğu için, parabolün kolları aşağıya doğrudur. Bu da demek oluyor ki, parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası bize fonksiyonun (yani alanın) maksimum değerini verir.

  Bir parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x = -rac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Burada $a = -1$ ( $x^2$'nin katsayısı) ve $b = 12$ ( $x$'in katsayısı) dir.

  $x = -rac{12}{2 \cdot (-1)}$

  $x = -rac{12}{-2}$

  $x = 6$

  Bu sonuç, kısa kenar $x=6$ birim olduğunda dikdörtgenin alanının maksimum olacağı anlamına gelir.

  Şimdi $x=6$ değerini kullanarak $y$ kenarını bulalım:

  $y = 12 - x = 12 - 6 = 6$

  Gördüğümüz gibi, $x=6$ ve $y=6$ çıktı. Bu, alanı maksimum yapan dikdörtgenin aslında bir kare olduğunu gösterir. Genel bir kural olarak, çevresi sabit olan tüm dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanı bir karedir.

• 6. Maksimum Alanı Hesaplayalım:

  Bulduğumuz $x=6$ ve $y=6$ değerlerini alan formülünde yerine koyarak maksimum alanı hesaplayalım:

  $A_{maksimum} = x \cdot y = 6 \cdot 6 = 36$

  Dolayısıyla, çevresi $24$ birim olan bir dikdörtgenin alanı en fazla $36$ birimkare olabilir.

Cevap C seçeneğidir.