Parçalı fonksiyon ve mutlak değer fonksiyonu ilişkisi nedir? Test 1

f(x) = |x-2| fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun parçalı fonksiyon olarak ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) f(x) = x-2, x ≥ 0 ve f(x) = -x+2, x < 0
B) f(x) = x-2, x ≥ 2 ve f(x) = -x+2, x < 2
C) f(x) = x-2, x > 2 ve f(x) = -x+2, x ≤ 2
D) f(x) = x+2, x ≥ 2 ve f(x) = -x-2, x < 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, mutlak değer fonksiyonlarını parçalı fonksiyon olarak nasıl ifade edeceğimizi öğreneceğiz. Bu, matematikte sıkça karşımıza çıkan ve iyi anlaşılması gereken bir konudur. Adım adım ilerleyerek $f(x) = |x-2|$ fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

• 1. Adım: Mutlak Değerin Tanımını Hatırlayalım

  Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfır bir değer döndürür. Matematiksel olarak, bir $a$ sayısı için mutlak değer $|a|$ şu şekilde tanımlanır:

  • Eğer $a \ge 0$ ise, o zaman $|a| = a$ olur.
  • Eğer $a < 0$ ise, o zaman $|a| = -a$ olur.

  Bu tanım, mutlak değerin içindeki ifadenin işaretine göre fonksiyonun nasıl davranacağını belirler.

• 2. Adım: Mutlak Değerin İçini Sıfır Yapan Değeri Bulalım

  Verilen fonksiyon $f(x) = |x-2|$ şeklindedir. Burada mutlak değerin içindeki ifade $x-2$'dir. Bu ifadenin işaretini değiştirdiği kritik noktayı bulmak için $x-2$'yi sıfıra eşitleriz:

  $x-2 = 0 \implies x = 2$

  Bu $x=2$ noktası, fonksiyonun parçalı olarak ifade edileceği "kırılma noktası"dır. Bu noktanın sağında ve solunda mutlak değerin içindeki ifadenin işareti farklı olacaktır.

• 3. Adım: İki Durumu İnceleyelim

  Şimdi, $x=2$ kritik noktasına göre iki farklı durumu ele alarak mutlak değerin tanımını uygulayalım:

  • Durum 1: $x-2 \ge 0$ olduğunda

    Eğer $x-2 \ge 0$ ise, bu $x \ge 2$ anlamına gelir. Bu durumda, mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya sıfır olduğu için mutlak değer dışına aynen çıkar:

    $f(x) = |x-2| = x-2$

  • Durum 2: $x-2 < 0$ olduğunda

    Eğer $x-2 < 0$ ise, bu $x < 2$ anlamına gelir. Bu durumda, mutlak değerin içindeki ifade negatif olduğu için mutlak değer dışına önüne eksi işareti alarak çıkar (yani işaret değiştirerek çıkar):

    $f(x) = |x-2| = -(x-2) = -x+2$

• 4. Adım: Parçalı Fonksiyonu Yazalım

  Yukarıdaki iki durumu birleştirerek $f(x) = |x-2|$ fonksiyonunun parçalı ifadesini yazabiliriz:

  $f(x) = \begin{cases} x-2, & \text{eğer } x \ge 2 \\ -x+2, & \text{eğer } x < 2 \end{cases}$

• 5. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Elde ettiğimiz parçalı fonksiyon ifadesini verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $f(x) = x-2, x \ge 0$ ve $f(x) = -x+2, x < 0$ (Kritik nokta yanlış, $x=0$ değil $x=2$ olmalıydı.)
  • B) $f(x) = x-2, x \ge 2$ ve $f(x) = -x+2, x < 2$ (Bu ifade bizim bulduğumuzla tamamen aynıdır.)
  • C) $f(x) = x-2, x > 2$ ve $f(x) = -x+2, x \le 2$ (Eşitlik durumu diğer tarafa verilmiş, bu da teknik olarak doğru bir gösterim olabilir ancak genellikle pozitif olan tarafa dahil edilir. Ancak $x=2$ kritik noktası doğru.)
  • D) $f(x) = x+2, x \ge 2$ ve $f(x) = -x-2, x < 2$ (Fonksiyon ifadeleri yanlış.)

  En doğru ve yaygın gösterim, eşitliğin genellikle pozitif olan duruma dahil edildiği B seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.