Bir fonksiyonun görüntü kümesini (range) bulmak için, fonksiyonun alabileceği en küçük ve en büyük değerleri veya değer aralığını belirlememiz gerekir. Adım adım ilerleyelim:
Verilen fonksiyon $f(x) = 2\sqrt{x-1} + 5$ şeklindedir. Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir, çünkü reel sayılarda karekökün içi negatif olamaz. Bu nedenle, $x-1 \ge 0$ olmalıdır.
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Bu, fonksiyonun tanım kümesinin $[1, \infty)$ olduğu anlamına gelir. Yani, $x$ değeri $1$ veya $1$'den büyük olmalıdır.
Tanım kümesi $x \ge 1$ olduğundan, $x-1 \ge 0$ olacaktır. Bu durumda $\sqrt{x-1}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $x=1$ için $\sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0$'dır.
$x$ değeri arttıkça, $x-1$ de artar ve dolayısıyla $\sqrt{x-1}$ değeri de artar. Örneğin, $x=2$ için $\sqrt{2-1} = 1$, $x=5$ için $\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2$ olur.
Bu durumda, $\sqrt{x-1}$ ifadesinin alabileceği değerler $[0, \infty)$ aralığındadır. Yani, $\sqrt{x-1} \ge 0$.
Şimdi $\sqrt{x-1} \ge 0$ eşitsizliğini kullanarak $f(x)$ fonksiyonunu oluşturalım:
$2 \cdot \sqrt{x-1} \ge 2 \cdot 0 \implies 2\sqrt{x-1} \ge 0$.
Bu adımda değer aralığı hala $[0, \infty)$'dur.
$2\sqrt{x-1} + 5 \ge 0 + 5 \implies 2\sqrt{x-1} + 5 \ge 5$.
Bu son eşitsizlik, $f(x)$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değerin $5$ olduğunu ve $x$ arttıkça $f(x)$ değerinin de artarak sonsuza gideceğini gösterir.
Dolayısıyla, $f(x)$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[5, \infty)$'dur.
Cevap C seçeneğidir.
