Dik koordinat düzleminde $A(-1, 4)$ ve $B(7, -8)$ noktalarını birleştiren $AB$ doğru parçasını içten $1:3$ oranında bölen $C$ noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(1, 1)$
B) $(0, 2)$
C) $(2, 0)$
D) $(1, 2)$
E) $(0, 1)$
Dik koordinat düzleminde iki noktayı birleştiren bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını bulmak için özel bir formül kullanırız. Bu formül, oran ve noktaların koordinatları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu tür sorular, koordinat geometrisinin temel taşlarından biridir ve geometri problemlerini çözmek için güçlü bir araçtır.
- Verilen Bilgiler:
$A(x_1, y_1) = A(-1, 4)$ ve $B(x_2, y_2) = B(7, -8)$ noktaları verilmiştir.
$AB$ doğru parçası içten $1:3$ oranında bölündüğü için, bölme oranını $m:n = 1:3$ olarak alabiliriz. Yani $m=1$ ve $n=3$ değerlerini kullanacağız.
- İçten Bölme Formülü:
Bir $C(x, y)$ noktası, $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $m:n$ oranında içten bölüyorsa, $C$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:
$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$
$y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$
- $C$ noktasının $x$ koordinatını bulalım:
Yukarıdaki formülde verilen değerleri yerine yazalım:
$x_C = \frac{3 \cdot (-1) + 1 \cdot 7}{1+3}$
$x_C = \frac{-3 + 7}{4}$
$x_C = \frac{4}{4}$
$x_C = 1$
- $C$ noktasının $y$ koordinatını bulalım:
Aynı şekilde $y$ koordinatı için de formülde değerleri yerine yazalım:
$y_C = \frac{3 \cdot 4 + 1 \cdot (-8)}{1+3}$
$y_C = \frac{12 - 8}{4}$
$y_C = \frac{4}{4}$
$y_C = 1$
- Buna göre, $C$ noktasının koordinatları $(1, 1)$ olarak bulunur.
- Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
