10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 2

$ax^2+bx+c=0$ şeklindeki ikinci dereceden bir denklemin (gerçek) köklerini bulmak için izlenecek adımları algoritmik bir dille ifade ediniz. ($a \neq 0$ kabul ediniz.)

A)

• 1. Adım: Diskriminant ($\Delta$) hesaplanır: $\Delta = b^2 - 4ac$.
• 2. Adım: Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökü yoktur.
• 3. Adım: Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin çakışık iki gerçek kökü vardır: $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$.
• 4. Adım: Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır: $x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ve $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

B)

• 1. Adım: Diskriminant ($\Delta$) hesaplanır: $\Delta = b^2 - 4ac$.
• 2. Adım: Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin iki farklı gerçek kökü vardır.
• 3. Adım: Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin gerçek kökü yoktur.
• 4. Adım: Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin çakışık iki gerçek kökü vardır: $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$.

C)

• 1. Adım: Diskriminant ($\Delta$) hesaplanır: $\Delta = b^2 - ac$.
• 2. Adım: Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökü yoktur.
• 3. Adım: Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin çakışık iki gerçek kökü vardır: $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$.
• 4. Adım: Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır: $x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ve $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

D)

• 1. Adım: Diskriminant ($\Delta$) hesaplanır: $\Delta = b^2 - 4ac$.
• 2. Adım: Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökü yoktur.
• 3. Adım: Eğer $\Delta \ge 0$ ise, denklemin kökleri $x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ve $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ formülüyle bulunur.

E)

• 1. Adım: Diskriminant ($\Delta$) hesaplanır: $\Delta = b^2 - 4ac$.
• 2. Adım: Kökler her zaman $x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ve $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ formülüyle bulunur.

Merhaba sevgili öğrenciler!

İkinci dereceden denklemler, matematikte sıkça karşılaştığımız ve birçok alanda uygulaması olan önemli bir konudur. Bir $ax^2+bx+c=0$ şeklindeki denklemin (burada $a \neq 0$) gerçek köklerini bulmak için belirli adımları takip etmemiz gerekir. Bu adımlar, denklemin katsayılarına ($a$, $b$, $c$) bağlı olarak köklerin varlığını ve değerlerini belirlememizi sağlar. Şimdi bu adımları detaylıca inceleyelim:

• 1. Adım: Diskriminantı Hesaplama ($\Delta$)

  Bir ikinci dereceden denklemin köklerinin doğasını ve varlığını belirleyen ilk ve en kritik adım, diskriminantı hesaplamaktır. Diskriminant ($\Delta$), $b^2 - 4ac$ formülüyle bulunur. Bu değer, köklerin gerçek olup olmadığını ve kaç tane olduğunu anlamamız için anahtardır.

  Formül: $\Delta = b^2 - 4ac$

• 2. Adım: Diskriminantın Değerini Yorumlama (Durum 1: $\Delta < 0$)

  Eğer hesapladığımız diskriminant değeri sıfırdan küçükse ($\Delta < 0$), bu, denklemin gerçek sayılar kümesinde hiçbir kökü olmadığı anlamına gelir. Bu durumda, kökler karmaşık sayılar kümesindedir ve gerçek kök arayışımız burada sona erer.

• 3. Adım: Diskriminantın Değerini Yorumlama (Durum 2: $\Delta = 0$)

  Eğer diskriminant değeri tam olarak sıfıra eşitse ($\Delta = 0$), bu durumda denklemin birbirine eşit (çakışık) iki gerçek kökü vardır. Bu kökler tek bir formülle bulunur:

  Formül: $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$

• 4. Adım: Diskriminantın Değerini Yorumlama (Durum 3: $\Delta > 0$)

  Eğer diskriminant değeri sıfırdan büyükse ($\Delta > 0$), bu, denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir. Bu iki farklı kök, aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

  Formüller: $x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ve $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) Seçeneği: Bu seçenek, yukarıda açıkladığımız tüm adımları ve durumları doğru bir şekilde ifade etmektedir. Diskriminantın doğru formülü verilmiş, $\Delta < 0$, $\Delta = 0$ ve $\Delta > 0$ durumları ayrı ayrı ele alınmış ve her durum için köklerin doğası ile hesaplama formülleri eksiksiz ve doğru bir şekilde belirtilmiştir.
• B) Seçeneği: Bu seçenekte diskriminantın yorumlanması hatalıdır. Örneğin, $\Delta < 0$ durumunda gerçek kök yoktur denilmesi gerekirken "iki farklı gerçek kökü vardır" denilmiştir.
• C) Seçeneği: Bu seçenekte diskriminantın hesaplama formülü hatalıdır. Doğru formül $b^2 - 4ac$ iken, burada $b^2 - ac$ olarak verilmiştir.
• D) Seçeneği: Bu seçenek, $\Delta \ge 0$ durumunu tek bir adımda birleştirmiş olsa da, $\Delta = 0$ durumundaki "çakışık" kökler özelliğini açıkça belirtmemiştir. Ayrıca, algoritmanın daha açıklayıcı olması için durumların ayrı ayrı ele alınması daha uygundur.
• E) Seçeneği: Bu seçenek, köklerin her zaman verilen formülle bulunacağını iddia ederek, $\Delta < 0$ durumunda gerçek köklerin olmadığını göz ardı etmektedir.

Bu analizler sonucunda, ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerini bulmak için izlenecek adımları en doğru ve eksiksiz şekilde ifade eden seçenek A'dır.

Cevap A seçeneğidir.