Bu soruda bir fonksiyonun türevinin işaret tablosu verilmiş ve fonksiyonun hangi aralıkta azalan olduğunu bulmamız isteniyor. Fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarını anlamak için türev kavramını nasıl kullandığımızı adım adım inceleyelim.
- Adım 1: Türev ve Fonksiyonun Davranışı Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım
Matematikte, bir fonksiyonun türevinin işareti, o fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu gösteren çok önemli bir bilgidir:
- Eğer bir aralıkta fonksiyonun türevi $f'(x) > 0$ ise, fonksiyon o aralıkta artandır. Bu, $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerlerinin de arttığı anlamına gelir. Fonksiyonun grafiği bu aralıkta yukarı doğru tırmanır.
- Eğer bir aralıkta fonksiyonun türevi $f'(x) < 0$ ise, fonksiyon o aralıkta azalandır. Bu, $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerlerinin azaldığı anlamına gelir. Fonksiyonun grafiği bu aralıkta aşağı doğru iner.
- Eğer bir aralıkta fonksiyonun türevi $f'(x) = 0$ ise, fonksiyon o aralıkta sabit olabilir veya yerel maksimum/minimum noktalarına sahip olabilir.
- Adım 2: Verilen İşaret Bilgilerini Yorumlayalım
Soruda bize $f'(x)$'in işaretleri aşağıdaki gibi verilmiştir. Bu bilgileri Adım 1'deki kurala göre yorumlayalım:
- $x < -2$ aralığında: $f'(x) > 0$. Bu bilgiye göre, fonksiyon $f(x)$ bu aralıkta artandır.
- $-2 < x < 1$ aralığında: $f'(x) < 0$. Bu bilgiye göre, fonksiyon $f(x)$ bu aralıkta azalandır.
- $x > 1$ aralığında: $f'(x) > 0$. Bu bilgiye göre, fonksiyon $f(x)$ bu aralıkta artandır.
- Adım 3: Fonksiyonun Azalan Olduğu Aralığı Belirleyelim
Bizden fonksiyonun hangi aralıkta azalan olduğu isteniyor. Adım 1'de öğrendiğimiz gibi, bir fonksiyonun azalan olması için türevinin işaretinin negatif ($f'(x) < 0$) olması gerekir.
- Adım 2'deki yorumlarımıza baktığımızda, $f'(x) < 0$ olduğu aralık, $-2 < x < 1$ aralığıdır. Bu aralık, açık aralık gösterimiyle $(-2, 1)$ şeklinde ifade edilir.
- Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştıralım
Bulduğumuz azalan aralık olan $(-2, 1)$, verilen seçeneklerde B şıkkında yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
