10. Sınıf Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetri Özellikleri Test 1

f(x) = x³ - 3x fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Sadece tek fonksiyondur
B) Sadece çift fonksiyondur
C) Hem tek hem çift fonksiyondur
D) Ne tek ne çift fonksiyondur

Bir fonksiyonun tek mi, çift mi, yoksa ikisi de mi veya hiçbiri mi olduğunu anlamak için belirli kuralları uygulamamız gerekir. Hadi $f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonunu adım adım inceleyelim.

• 1. Tek ve Çift Fonksiyon Tanımlarını Hatırlayalım:

  Bir $f(x)$ fonksiyonu, eğer tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.

  Bir $f(x)$ fonksiyonu, eğer tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

• 2. Fonksiyonumuz İçin $f(-x)$ Değerini Bulalım:

  Verilen fonksiyonumuz $f(x) = x^3 - 3x$. Şimdi $x$ yerine $-x$ yazarak $f(-x)$'i hesaplayalım:

  $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)$

  Üslü ifadelerde negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Bu durumda $(-x)^3 = -x^3$ olur. Ayrıca $-3(-x) = +3x$ olur.

  $f(-x) = -x^3 + 3x$

• 3. Fonksiyonun Çift Olup Olmadığını Kontrol Edelim:

  Çift fonksiyon tanımına göre $f(-x) = f(x)$ olmalıydı. Bakalım bu eşitlik sağlanıyor mu?

  $-x^3 + 3x = x^3 - 3x$

  Bu eşitliğin her $x$ değeri için doğru olup olmadığını kontrol edelim. Örneğin, $x=1$ için sol taraf $-1^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2$ iken, sağ taraf $1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$ olur. $2 \neq -2$ olduğu için bu eşitlik her zaman doğru değildir.

  Bu durumda, $f(x)$ çift fonksiyon değildir.

• 4. Fonksiyonun Tek Olup Olmadığını Kontrol Edelim:

  Tek fonksiyon tanımına göre $f(-x) = -f(x)$ olmalıydı. Öncelikle $-f(x)$'i bulalım:

  $-f(x) = -(x^3 - 3x)$

  Eksi işaretini parantez içine dağıtırsak:

  $-f(x) = -x^3 + 3x$

  Şimdi $f(-x)$ ile $-f(x)$'i karşılaştıralım:

  Biz $f(-x) = -x^3 + 3x$ bulmuştuk.

  Ve $-f(x) = -x^3 + 3x$ bulduk.

  Gördüğümüz gibi, $f(-x) = -f(x)$ eşitliği her $x$ değeri için sağlanmaktadır.

  Bu durumda, $f(x)$ tek fonksiyondur.

• 5. Sonucu Değerlendirelim:

  Yaptığımız kontroller sonucunda $f(x)$ fonksiyonunun çift olmadığını, ancak tek olduğunu belirledik. Bir fonksiyonun hem tek hem de çift olması için sadece $f(x)=0$ olması gerekir ki bu fonksiyon $f(x)=0$ değildir.

  Dolayısıyla, bu fonksiyon sadece tek fonksiyondur.

Cevap A seçeneğidir.