ABC ve KLM üçgenlerinde |AB|/|KL| = |AC|/|KM| = 2/3 ve m(BAC) = m(LKM) = 45° veriliyor. |BC| = 10 cm olduğuna göre |LM| kaç cm'dir?
A) 12Sevgili öğrenciler, bu soruda iki üçgenin benzerlik özelliğini kullanarak bilinmeyen kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bize ABC ve KLM üçgenleri için şu bilgiler verilmiş:
Kenar oranları: $|AB|/|KL| = |AC|/|KM| = 2/3$. Bu, üçgenlerin karşılıklı kenarları arasında belirli bir oranın olduğunu gösterir.
Açı eşitliği: $m(\text{BAC}) = m(\text{LKM}) = 45^\circ$. Bu, iki üçgende de aynı büyüklükte bir açının bulunduğunu ve bu açının, oranı verilen kenarlar arasında kalan açı olduğunu gösterir.
Bir kenar uzunluğu: $|BC| = 10$ cm.
Bulmamız gereken: $|LM|$ kenarının uzunluğu.
Geometride önemli bir benzerlik kuralı olan Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ni hatırlayalım:
Eğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarının oranları eşitse ve bu kenarlar arasında kalan açılar da eşitse, o zaman bu iki üçgen benzerdir.
Bizim durumumuzda, $|AB|/|KL| = |AC|/|KM| = 2/3$ (kenar oranları eşit) ve $m(\text{BAC}) = m(\text{LKM})$ (bu kenarlar arasındaki açılar eşit).
Bu koşullar sağlandığı için, $\triangle ABC$ üçgeni ile $\triangle KLM$ üçgeni benzerdir. Matematiksel olarak $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ şeklinde gösteririz.
Benzer üçgenlerde, karşılıklı tüm kenarların oranları birbirine eşittir ve bu orana benzerlik oranı denir. Yani, $|AB|/|KL| = |AC|/|KM| = |BC|/|LM|$ olacaktır.
Soruda bize bu oranın $2/3$ olduğu verilmişti. O halde, $|BC|/|LM| = 2/3$ eşitliğini kullanabiliriz.
Şimdi elimizdeki değerleri benzerlik oranında yerine koyalım:
$|BC| = 10$ cm olarak verilmişti.
Denklemimiz: $10/|LM| = 2/3$.
İçler dışlar çarpımı yaparak $|LM|$ değerini bulabiliriz:
$2 \times |LM| = 10 \times 3$
$2 \times |LM| = 30$
Her iki tarafı 2'ye bölersek: $|LM| = 30 / 2$
$|LM| = 15$ cm bulunur.
Bu adımları takip ederek, benzerlik kavramını kullanarak $|LM|$ kenarının uzunluğunu $15$ cm olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
