Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (bu durumda $x$) tüm kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı olması gerekir. Doğal sayılar kümesi $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir. Yani, üsler negatif olamaz ve kesirli olamaz.
Şimdi verilen $Q(x) = x^n + 3x^2 - 4$ ifadesini inceleyelim:
- $3x^2$ teriminde $x$'in kuvveti $2$'dir. $2$ bir doğal sayıdır. Bu terim polinom tanımına uyar.
- $-4$ terimi bir sabittir. Bunu $-4x^0$ olarak düşünebiliriz. $x$'in kuvveti $0$'dır. $0$ bir doğal sayıdır. Bu terim de polinom tanımına uyar.
- $x^n$ terimi, $Q(x)$ ifadesinin polinom olup olmadığını belirleyecek olan kısımdır. Bu terimdeki $n$ kuvvetinin bir doğal sayı olması gerekmektedir.
Şimdi seçenekleri tek tek kontrol edelim:
- A) $n=0$: Eğer $n=0$ olursa, $x^n = x^0 = 1$ olur. $0$ bir doğal sayıdır. Bu durumda $Q(x) = 1 + 3x^2 - 4 = 3x^2 - 3$ bir polinomdur.
- B) $n=1$: Eğer $n=1$ olursa, $x^n = x^1 = x$ olur. $1$ bir doğal sayıdır. Bu durumda $Q(x) = x + 3x^2 - 4$ bir polinomdur.
- C) $n=-2$: Eğer $n=-2$ olursa, $x^n = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ olur. $-2$ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır). Bir polinomda değişkenin kuvveti negatif olamaz. Bu durumda $Q(x)$ bir polinom olmaz.
- D) $n=5$: Eğer $n=5$ olursa, $x^n = x^5$ olur. $5$ bir doğal sayıdır. Bu durumda $Q(x) = x^5 + 3x^2 - 4$ bir polinomdur.
Görüldüğü gibi, $n=-2$ olduğunda ifade bir polinom olamaz çünkü $x$'in kuvveti negatif olur.
Cevap C seçeneğidir.
