$y = \frac{x-1}{x^2-4}$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) x=2 ve x=-2'de düşey asimptotları vardır.
B) y=0 yatay asimptotudur.
C) Fonksiyon (1,0) noktasından geçer.
D) Paydanın derecesi payın derecesinden küçüktür.
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda verilen rasyonel fonksiyonun grafiği ile ilgili ifadeleri tek tek inceleyerek hangisinin yanlış olduğunu bulacağız. Bir rasyonel fonksiyonun özelliklerini hatırlayarak ilerleyelim.
- Öncelikle verilen fonksiyonu inceleyelim: $y = \frac{x-1}{x^2-4}$
- A) x=2 ve x=-2'de düşey asimptotları vardır.
- Düşey asimptotlar, paydanın sıfır olduğu ve bu noktalarda payın sıfır olmadığı değerlerde oluşur.
- Paydayı sıfıra eşitleyelim: $x^2-4 = 0$
- Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak: $(x-2)(x+2) = 0$
- Buradan $x-2=0 \Rightarrow x=2$ ve $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ değerlerini buluruz.
- Şimdi bu $x$ değerleri için payın sıfır olup olmadığını kontrol edelim:
- $x=2$ için pay: $2-1 = 1 \neq 0$
- $x=-2$ için pay: $-2-1 = -3 \neq 0$
- Her iki durumda da pay sıfır olmadığı için $x=2$ ve $x=-2$ düşey asimptotlardır. Bu ifade doğrudur.
- B) y=0 yatay asimptotudur.
- Yatay asimptotları bulmak için pay ve paydanın derecelerini karşılaştırırız.
- Payın derecesi ($x-1$): 1
- Paydanın derecesi ($x^2-4$): 2
- Bir rasyonel fonksiyonda paydanın derecesi payın derecesinden büyükse, yatay asimptot $y=0$ (x ekseni) olur.
- Burada $2 > 1$ olduğu için $y=0$ yatay asimptottur. Bu ifade doğrudur.
- C) Fonksiyon (1,0) noktasından geçer.
- Bir fonksiyonun bir noktadan geçip geçmediğini anlamak için, noktanın koordinatlarını fonksiyonda yerine yazarız. Eğer eşitlik sağlanırsa, fonksiyon o noktadan geçiyor demektir.
- $(1,0)$ noktasında $x=1$ ve $y=0$ olmalıdır.
- Fonksiyonda $x=1$ yazalım: $y = \frac{1-1}{1^2-4} = \frac{0}{1-4} = \frac{0}{-3} = 0$
- Gördüğümüz gibi, $x=1$ iken $y=0$ çıkıyor. Yani fonksiyon $(1,0)$ noktasından geçer. Bu ifade doğrudur.
- D) Paydanın derecesi payın derecesinden küçüktür.
- Payın derecesi ($x-1$): 1
- Paydanın derecesi ($x^2-4$): 2
- Paydanın derecesi (2), payın derecesinden (1) **büyüktür**. Yani $2 > 1$.
- İfade, paydanın derecesinin payın derecesinden küçüktür dediği için bu ifade yanlıştır.
Cevap D seçeneğidir.
