x in kuvveti kesirli (rasyonel) olursa polinom olur mu Test 1

$P(x) = x^{3/2} - 4x^2 + 2x - 1$ ifadesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Bir polinomdur çünkü tüm katsayılar reel sayıdır
B) Bir polinomdur çünkü derecesi 2'dir
C) Bir polinom değildir çünkü üsler doğal sayı değildir
D) Bir polinomdur çünkü sabit terim vardır

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle bir polinomun ne olduğunu hatırlayalım. Bir ifadenin polinom olabilmesi için belirli şartları taşıması gerekir.

• Polinom Nedir?

  Bir $P(x)$ ifadesinin polinom olabilmesi için, $x$'in tüm kuvvetlerinin (üslerinin) negatif olmayan tam sayılar (yani $0, 1, 2, 3, ...$) olması ve katsayılarının reel sayılar olması gerekir. Genel bir polinom $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ şeklinde yazılır. Burada $a_i$ katsayılar reel sayıdır ve $n$ bir negatif olmayan tam sayıdır.

• Verilen İfadeyi İnceleyelim:

  Bize verilen ifade $P(x) = x^{3/2} - 4x^2 + 2x - 1$. Bu ifadedeki terimlerin $x$'in kuvvetlerine (üslerine) bakalım:

  • İlk terim $x^{3/2}$: Burada $x$'in üssü $3/2$'dir.
  • İkinci terim $-4x^2$: Burada $x$'in üssü $2$'dir.
  • Üçüncü terim $2x$: Burada $x$'in üssü $1$'dir (çünkü $x = x^1$).
  • Dördüncü terim $-1$: Burada $x$'in üssü $0$'dır (çünkü $-1 = -1x^0$).
• Polinom Şartlarını Kontrol Edelim:

  Şimdi bu üsleri polinom olma şartıyla karşılaştıralım:

  • $2$ bir negatif olmayan tam sayıdır. (Uygun)
  • $1$ bir negatif olmayan tam sayıdır. (Uygun)
  • $0$ bir negatif olmayan tam sayıdır. (Uygun)
  • Ancak, $3/2$ bir negatif olmayan tam sayı değildir. $3/2$ bir kesirli sayıdır.

  Bir ifadenin polinom olabilmesi için tüm $x$ üslerinin negatif olmayan tam sayı olması gerekir. $x^{3/2}$ terimi bu şartı sağlamadığı için, $P(x)$ bir polinom değildir.

• Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) Bir polinomdur çünkü tüm katsayılar reel sayıdır.

    Katsayılar ($1, -4, 2, -1$) reel sayıdır, bu doğru. Ancak, bir ifadenin polinom olması için sadece katsayıların reel olması yeterli değildir; üslerin de negatif olmayan tam sayı olması gerekir. Bu şart sağlanmadığı için ifade polinom değildir. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.

  • B) Bir polinomdur çünkü derecesi 2'dir.

    İfade bir polinom olmadığı için derecesinden bahsetmek doğru değildir. Polinom derecesi, polinomdaki en büyük negatif olmayan tam sayı üssüdür. Burada $3/2$ gibi bir üs olduğu için ifade polinom değildir. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.

  • C) Bir polinom değildir çünkü üsler doğal sayı değildir.

    Polinomlarda üslerin negatif olmayan tam sayılar (yani $0, 1, 2, 3, ...$) olması gerekir. Türkçede "doğal sayılar" genellikle $1, 2, 3, ...$ olarak kabul edilirken, polinom tanımında $0$ da dahil edilir. Ancak $3/2$ ne doğal sayıdır ne de negatif olmayan bir tam sayıdır. Dolayısıyla, $x^{3/2}$ terimindeki $3/2$ üssü, polinom olma şartını sağlamadığı için ifade bir polinom değildir. Bu seçenek doğrudur.

  • D) Bir polinomdur çünkü sabit terim vardır.

    İfade içinde sabit terim ($-1$) bulunması, ifadenin polinom olduğunu göstermez. Birçok farklı türdeki ifadede sabit terim bulunabilir. Polinom olma şartı üslerle ilgilidir. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.

Cevap C seçeneğidir.