p ∧ q bileşik önermesinin yanlış olduğu biliniyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) p doğrudur
B) q doğrudur
C) p ve q'dan en az biri yanlıştır
D) p ve q'nun her ikisi de yanlıştır
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, mantık konusundaki temel bilgilerimizi kullanarak bir bileşik önermenin yanlış olduğu durumları inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim ve doğru cevabı birlikte bulalım.
1. Adım: Soruyu Anlayalım
- Bize verilen bilgi, $p \wedge q$ bileşik önermesinin yanlış olduğudur.
- Bizden istenen ise, bu bilgiye dayanarak aşağıdaki seçeneklerden hangisinin kesinlikle doğru olduğunu bulmamızdır.
2. Adım: "$p \wedge q$" Önermesinin Anlamını Hatırlayalım
- "$p \wedge q$" önermesi, "$p$ ve $q$" anlamına gelir. Bu önerme, ancak ve ancak hem $p$ önermesi hem de $q$ önermesi doğru olduğunda doğru (1) olur.
- Diğer tüm durumlarda, yani $p$ yanlışsa (0) veya $q$ yanlışsa (0) veya her ikisi de yanlışsa (0), "$p \wedge q$" önermesi yanlış (0) olur.
3. Adım: "$p \wedge q$" Önermesinin Yanlış Olduğu Durumları Belirleyelim
- Yukarıdaki tanıma göre, "$p \wedge q$" önermesinin yanlış (0) olması için üç farklı olasılık vardır:
- Olasılık 1: $p$ doğru (1) ve $q$ yanlış (0) ise ($1 \wedge 0 = 0$).
- Olasılık 2: $p$ yanlış (0) ve $q$ doğru (1) ise ($0 \wedge 1 = 0$).
- Olasılık 3: $p$ yanlış (0) ve $q$ yanlış (0) ise ($0 \wedge 0 = 0$).
- Bu üç olasılıktan herhangi biri gerçekleştiğinde $p \wedge q$ önermesi yanlış olur.
4. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim
- A) $p$ doğrudur: Bu kesinlikle doğru değildir. Çünkü $p \wedge q$ yanlış olduğunda, $p$ yanlış da olabilir (Olasılık 2 ve Olasılık 3). Örneğin, $p$ yanlış, $q$ doğru iken $p \wedge q$ yanlıştır.
- B) $q$ doğrudur: Bu da kesinlikle doğru değildir. Çünkü $p \wedge q$ yanlış olduğunda, $q$ yanlış da olabilir (Olasılık 1 ve Olasılık 3). Örneğin, $p$ doğru, $q$ yanlış iken $p \wedge q$ yanlıştır.
- C) $p$ ve $q$'dan en az biri yanlıştır: Bu ifade, "$p$ yanlış veya $q$ yanlış veya her ikisi de yanlış" anlamına gelir. Yukarıda belirlediğimiz üç olasılığı inceleyelim:
- Olasılık 1'de ($p$ doğru, $q$ yanlış), $q$ yanlıştır, dolayısıyla "en az biri yanlış" ifadesi doğrudur.
- Olasılık 2'de ($p$ yanlış, $q$ doğru), $p$ yanlıştır, dolayısıyla "en az biri yanlış" ifadesi doğrudur.
- Olasılık 3'te ($p$ yanlış, $q$ yanlış), hem $p$ hem $q$ yanlıştır, dolayısıyla "en az biri yanlış" ifadesi doğrudur.
Gördüğümüz gibi, $p \wedge q$ yanlış olduğunda, bu üç olasılığın her birinde "p ve q'dan en az biri yanlıştır" ifadesi kesinlikle doğru olmaktadır. Bu ifade, aslında $p \wedge q$ önermesinin doğruluk tablosunda "doğru" olduğu tek durumun (yani $p$ ve $q$'nun ikisinin de doğru olduğu durumun) dışındaki tüm durumları kapsar.
- D) $p$ ve $q$'nun her ikisi de yanlıştır: Bu kesinlikle doğru değildir. Çünkü $p \wedge q$ yanlış olduğunda, $p$ doğru $q$ yanlış olabilir (Olasılık 1) veya $p$ yanlış $q$ doğru olabilir (Olasılık 2). Bu durumlarda, her ikisi de yanlış değildir.
5. Adım: Sonucu Belirleyelim
- Yaptığımız değerlendirmeler sonucunda, $p \wedge q$ önermesinin yanlış olduğu bilindiğinde, kesinlikle doğru olan seçeneğin "p ve q'dan en az biri yanlıştır" olduğu ortaya çıkmıştır.
Cevap C seçeneğidir.
