Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) $\sqrt[4]{5^3} = 5^{3/4}$
B) $7^{1/2} = \sqrt{7}$
C) $\frac{1}{2^{2/3}} = \sqrt[3]{2^2}$
D) $3^{-1/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{3}}$
Bu soruda, üslü ve köklü ifadeler arasındaki dönüşümleri ve üslü sayıların temel özelliklerini kullanarak verilen eşitliklerin doğru olup olmadığını kontrol etmemiz isteniyor. Temel kuralları hatırlayalım:
- Bir sayının köklü ifadesini üslü ifadeye çevirme kuralı: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$
- Negatif üs kuralı: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Şimdi her bir seçeneği adım adım inceleyelim:
- A) $\sqrt[4]{5^3} = 5^{3/4}$
- Bu ifadeyi $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ kuralına göre inceleyelim. Burada $a=5$, $m=3$ ve $n=4$'tür.
- Kuralı uyguladığımızda $\sqrt[4]{5^3} = 5^{3/4}$ elde ederiz.
- Bu eşitlik doğrudur.
- B) $7^{1/2} = \sqrt{7}$
- Bu ifadeyi $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ kuralına göre inceleyelim. Burada $a=7$, $m=1$ ve $n=2$'dir.
- $7^{1/2}$ ifadesini köklü biçimde yazarsak $\sqrt[2]{7^1}$ olur. Kareköklerde kök derecesi 2 yazılmaz ve üs 1 de genellikle yazılmaz, yani $\sqrt{7}$ şeklinde gösterilir.
- Bu eşitlik doğrudur.
- C) $\frac{1}{2^{2/3}} = \sqrt[3]{2^2}$
- Bu eşitliğin sol tarafını inceleyelim: $\frac{1}{2^{2/3}}$.
- Negatif üs kuralı $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ gereği, $\frac{1}{2^{2/3}}$ ifadesini $2^{-2/3}$ olarak yazabiliriz.
- Şimdi $2^{-2/3}$ ifadesini köklü biçimde yazalım: $\sqrt[3]{2^{-2}}$.
- $2^{-2}$ ise $\frac{1}{2^2}$ demektir. Yani sol taraf $\sqrt[3]{\frac{1}{2^2}}$ olur.
- Eşitliğin sağ tarafı ise $\sqrt[3]{2^2}$'dir.
- Gördüğümüz gibi, $\sqrt[3]{\frac{1}{2^2}}$ ile $\sqrt[3]{2^2}$ birbirine eşit değildir.
- Bu eşitlik yanlıştır.
- D) $3^{-1/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{3}}$
- Bu eşitliğin sol tarafını inceleyelim: $3^{-1/5}$.
- Negatif üs kuralı $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ gereği, $3^{-1/5}$ ifadesini $\frac{1}{3^{1/5}}$ olarak yazabiliriz.
- Şimdi paydadaki $3^{1/5}$ ifadesini köklü biçimde yazalım: $\sqrt[5]{3^1}$ veya kısaca $\sqrt[5]{3}$.
- Yani sol taraf $\frac{1}{\sqrt[5]{3}}$ olur.
- Bu, eşitliğin sağ tarafı ile aynıdır.
- Bu eşitlik doğrudur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, C seçeneğindeki eşitliğin yanlış olduğu görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
