0/0 belirsizliği nedir Test 1

lim_x→2 (x² - 4)/(x - 2) limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 2
C) 4
D) Belirsiz

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, limit kavramını kullanarak bir cebirsel ifadenin değerini bulma alıştırması yapacağız. Sorumuz, $x$ değeri $2$'ye yaklaşırken $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ifadesinin limitini bulmak.

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma Yöntemini Deneyelim

  Öncelikle, $x$ yerine $2$ koyarak ifadeyi doğrudan değerlendirmeye çalışalım. Bu, limit sorularında her zaman yapmamız gereken ilk kontrol adımıdır.

  • Pay kısmını hesaplayalım: $x^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
  • Payda kısmını hesaplayalım: $x - 2 = 2 - 2 = 0$.

  Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ şeklinde bir belirsizlik elde ettik. Bu durum, limitin var olabileceği ancak ifadeyi cebirsel olarak sadeleştirmemiz gerektiği anlamına gelir.

• Adım 2: İfadeyi Sadeleştirelim

  Belirsizliği ortadan kaldırmak için cebirsel sadeleştirme yöntemlerini kullanmalıyız. Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi, matematikte çok sık karşılaştığımız bir özdeşlik olan iki kare farkı özdeşliğidir. Hatırlayalım: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

  • Burada $a = x$ ve $b = 2$ olduğundan, $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
  • Şimdi limit ifadesini bu yeni haliyle tekrar yazalım: $\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$.
• Adım 3: Ortak Çarpanları Sadeleştirelim

  Limit alırken $x$ değeri $2$'ye yaklaşıyor, ancak tam olarak $2$ değildir. Bu yüzden $x - 2 \neq 0$ diyebiliriz. Bu bilgi sayesinde, pay ve paydadaki ortak çarpan olan $(x - 2)$'yi güvenle sadeleştirebiliriz.

  • İfade sadeleştiğinde şu hale gelir: $\lim_{x \to 2} (x + 2)$.
• Adım 4: Sadeleşmiş İfadenin Limitini Hesaplayalım

  Artık elimizde belirsizlik yaratmayan basit bir ifade var. Sadeleşmiş ifade olan $x + 2$ için $x$ yerine $2$ koyarak limiti doğrudan hesaplayabiliriz.

  • $2 + 2 = 4$.

Bu adımları takip ederek, verilen limitin değerinin $4$ olduğunu bulduk.

Cevap C seçeneğidir.