Birebir fonksiyon nedir Test 1

A = {-2, -1, 0, 1, 2} kümesinden B = {0, 1, 4, 9} kümesine f(x) = x² kuralıyla tanımlanan fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Birebir ve örtendir
B) Birebirdir ama örten değildir
C) Birebir değildir ama örtendir
D) Ne birebir ne de örtendir

Bu soruda, verilen bir fonksiyonun birebir ve örtenlik durumunu adım adım inceleyelim:

• 1. Fonksiyonun Tanım ve Değer Kümeleri ile Kuralını Belirleyelim:

  Tanım kümesi (fonksiyona girdiğimiz $x$ değerlerinin kümesi): $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

  Değer kümesi (fonksiyonun çıktıları olan $f(x)$ değerlerinin bulunabileceği küme): $B = \{0, 1, 4, 9\}$

  Fonksiyon kuralı: $f(x) = x^2$

• 2. Fonksiyonun Görüntü Kümesini Bulalım:

  Tanım kümesindeki her elemanı fonksiyon kuralına göre eşleştirelim:

  $f(-2) = (-2)^2 = 4$

  $f(-1) = (-1)^2 = 1$

  $f(0) = (0)^2 = 0$

  $f(1) = (1)^2 = 1$

  $f(2) = (2)^2 = 4$

  Bu durumda, fonksiyonun görüntü kümesi (yani $f(A)$) bu eşleşmelerin sonuçlarından oluşan kümedir: $f(A) = \{0, 1, 4\}$.

• 3. Fonksiyonun Birebirlik Durumunu İnceleyelim:

  Bir fonksiyonun birebir (injective) olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesinde farklı elemanlara eşleşmesi gerekir. Yani, $x_1 \neq x_2$ iken $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.

  Görüyoruz ki $f(-1) = 1$ ve $f(1) = 1$. Burada $-1 \neq 1$ olmasına rağmen $f(-1) = f(1)$'dir.

  Aynı şekilde $f(-2) = 4$ ve $f(2) = 4$. Burada da $-2 \neq 2$ olmasına rağmen $f(-2) = f(2)$'dir.

  Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir.

• 4. Fonksiyonun Örtenlik Durumunu İnceleyelim:

  Bir fonksiyonun örten (surjective) olması için, değer kümesindeki ($B$) her elemanın, tanım kümesindeki ($A$) en az bir elemanla eşleşmesi gerekir. Başka bir deyişle, fonksiyonun görüntü kümesi ($f(A)$) ile değer kümesi ($B$) birbirine eşit olmalıdır ($f(A) = B$).

  Bizim bulduğumuz görüntü kümesi: $f(A) = \{0, 1, 4\}$

  Soruda verilen değer kümesi: $B = \{0, 1, 4, 9\}$

  Görüldüğü gibi, $f(A) \neq B$ çünkü $9$ elemanı değer kümesi $B$'de olmasına rağmen, görüntü kümesi $f(A)$'da değildir. Yani, tanım kümesindeki hiçbir $x$ değeri için $f(x) = x^2 = 9$ sonucunu elde edemeyiz (çünkü $x=3$ veya $x=-3$ değerleri $A$ kümesinde bulunmamaktadır).

  Bu durum, fonksiyonun örten olmadığını gösterir.

• 5. Sonuç:

  Yaptığımız incelemeler sonucunda, fonksiyonun ne birebir ne de örten olduğunu bulduk. Bu durum D seçeneğine karşılık gelmektedir.

Cevap C seçeneğidir.