Tümevarım yöntemi ile ispat Test 1

Tümevarım yöntemiyle \(n \geq 1\) için \(4^n + 6n - 1\) ifadesinin 9 ile tam bölündüğünü ispatlamak isteyen biri, tümevarım adımında aşağıdaki işlemlerden hangisini yapmalıdır?

A) \(4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) - 18k + 9\)
B) \(4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) + 18k - 9\)
C) \(4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) - 18k - 3\)
D) \(4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) + 6\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak bir ifadenin belirli bir sayıya tam bölündüğünü ispatlarken, tümevarım adımında yapılması gereken cebirsel düzenlemeyi bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Tümevarım Yönteminin Temelleri:

  Tümevarım yöntemi, bir ifadenin tüm doğal sayılar için geçerli olduğunu ispatlamak için kullanılır. Üç ana adımı vardır:

  • 1. Temel Adım (Baz Durum): İfadenin $n=1$ (veya başlangıç değeri) için doğru olduğunu göstermek.
  • 2. Tümevarım Hipotezi: İfadenin herhangi bir $k \geq 1$ doğal sayısı için doğru olduğunu varsaymak. Yani, $P(k)$'nin doğru olduğunu kabul etmek. Bu durumda, $4^k + 6k - 1$ ifadesinin 9 ile tam bölündüğünü varsayıyoruz. Bu demektir ki, $4^k + 6k - 1 = 9m$ olacak şekilde bir $m$ tam sayısı vardır.
  • 3. Tümevarım Adımı: Tümevarım hipotezini kullanarak, ifadenin $n=k+1$ için de doğru olduğunu göstermek. Yani, $P(k+1)$'in doğru olduğunu ispatlamak. Bu durumda, $4^{k+1} + 6(k+1) - 1$ ifadesinin de 9 ile tam bölündüğünü göstermeliyiz.
• Tümevarım Adımını Başlatma:

  Tümevarım adımında, $n=k+1$ için ifadeyi yazarak başlarız:

  $P(k+1) = 4^{k+1} + 6(k+1) - 1$

• İfadeyi Düzenleme:

  Şimdi bu ifadeyi açalım ve tümevarım hipotezimiz olan $4^k + 6k - 1$ terimini elde etmeye çalışalım:

  $4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 6k + 6 - 1$

  $= 4 \cdot 4^k + 6k + 5$

• Tümevarım Hipotezini İçeri Katma:

  Amacımız, $4 \cdot 4^k + 6k + 5$ ifadesini, $4^k + 6k - 1$ terimini içerecek şekilde yazmaktır. Genellikle, $4^{k+1}$ teriminden $4$ çarpanını ayırırız ve hipotez terimini oluşturmaya çalışırız:

  İfadeyi $4(4^k + 6k - 1)$ şeklinde yazmaya çalışalım. Bu ifadeyi açtığımızda ne elde ederiz?

  $4(4^k + 6k - 1) = 4 \cdot 4^k + 24k - 4$

  Şimdi, başlangıçtaki $4 \cdot 4^k + 6k + 5$ ifadesini, $4(4^k + 6k - 1)$ ve bir kalan terim şeklinde yazmalıyız. Yani:

  $4 \cdot 4^k + 6k + 5 = 4(4^k + 6k - 1) + \text{Kalan}$

  Kalanı bulmak için, $4 \cdot 4^k + 6k + 5$ ifadesinden $4(4^k + 6k - 1)$ ifadesini çıkaralım:

  $\text{Kalan} = (4 \cdot 4^k + 6k + 5) - (4 \cdot 4^k + 24k - 4)$

  $\text{Kalan} = 4 \cdot 4^k + 6k + 5 - 4 \cdot 4^k - 24k + 4$

  $\text{Kalan} = (4 \cdot 4^k - 4 \cdot 4^k) + (6k - 24k) + (5 + 4)$

  $\text{Kalan} = 0 - 18k + 9$

  $\text{Kalan} = -18k + 9$

• Sonuç:

  Buna göre, $4^{k+1} + 6(k+1) - 1$ ifadesi şu şekilde yazılabilir:

  $4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) - 18k + 9$

  Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin doğru olduğunu görürüz.

  Bu düzenleme sayesinde, tümevarım hipotezini ($4^k + 6k - 1$ ifadesinin 9 ile bölündüğünü) kullanabiliriz. Eğer $4^k + 6k - 1 = 9m$ ise,

  $4(9m) - 18k + 9 = 36m - 18k + 9 = 9(4m - 2k + 1)$

  olur. Bu da $4^{k+1} + 6(k+1) - 1$ ifadesinin 9 ile tam bölündüğünü gösterir.

Cevap A seçeneğidir.