Polinomlarda çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı Test 1

Q(x) = (x² - 3x + 2)⁶ polinomunda çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı T'dir. Buna göre T değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) [Q(1) + Q(-1)]/2
B) [Q(1) - Q(-1)]/2
C) Q(1) + Q(-1)
D) Q(1) - Q(-1)

Bu soruda, bir polinomun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken kullanacağımız genel bir kural vardır. Şimdi bu kuralı adım adım inceleyelim ve sorumuzu çözelim.

• Adım 1: Polinomlarda Katsayılar Toplamı ve Çift/Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı Kuralını Hatırlayalım.

Genel bir $P(x)$ polinomunu düşünelim:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

Burada $a_0, a_1, ..., a_n$ polinomun katsayılarıdır.

Tüm katsayıların toplamı: $P(1)$ değerine eşittir. Yani $x$ yerine $1$ yazdığımızda tüm katsayıların toplamını buluruz:

$P(1) = a_n (1)^n + a_{n-1} (1)^{n-1} + ... + a_2 (1)^2 + a_1 (1) + a_0 = a_n + a_{n-1} + ... + a_2 + a_1 + a_0$

$P(-1)$ değeri: $x$ yerine $-1$ yazdığımızda ise terimlerin işaretleri derecelerine göre değişir:

$P(-1) = a_n (-1)^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} + ... + a_2 (-1)^2 + a_1 (-1) + a_0$

Eğer derece çift ise işaret pozitif kalır, tek ise negatif olur:

$P(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - ...$

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı: $a_0 + a_2 + a_4 + ...$

Bu toplamı bulmak için $P(1)$ ve $P(-1)$ değerlerini toplarız:

$P(1) = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ...$

$P(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - ...$

Bu iki ifadeyi taraf tarafa topladığımızda, tek dereceli terimlerin katsayıları birbirini götürür:

$P(1) + P(-1) = (a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + ...) + (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ...)$

$P(1) + P(-1) = 2a_0 + 2a_2 + 2a_4 + ...$

$P(1) + P(-1) = 2(a_0 + a_2 + a_4 + ...)$

Dolayısıyla, çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı (ki biz buna $T$ diyoruz) şu formülle bulunur:

$T = \frac{P(1) + P(-1)}{2}$

Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı: $a_1 + a_3 + a_5 + ...$

Bu toplamı bulmak için $P(1)$'den $P(-1)$'i çıkarırız:

$P(1) - P(-1) = (a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + ...) - (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ...)$

$P(1) - P(-1) = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + ... - a_0 + a_1 - a_2 + a_3 - ...$

$P(1) - P(-1) = 2a_1 + 2a_3 + 2a_5 + ...$

$P(1) - P(-1) = 2(a_1 + a_3 + a_5 + ...)$

Dolayısıyla, tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı şu formülle bulunur:

$\frac{P(1) - P(-1)}{2}$

• Adım 2: Sorumuzdaki Polinomu ve İstenen Değeri Belirleyelim.

Bize verilen polinom $Q(x) = (x^2 - 3x + 2)^6$ şeklindedir.

İstenen değer ise çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı $T$'dir.

• Adım 3: Çift Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı Formülünü Uygulayalım.

Yukarıda öğrendiğimiz kurala göre, bir $P(x)$ polinomunda çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$ formülü ile bulunur.

Bizim polinomumuz $Q(x)$ olduğu için, $T = \frac{Q(1) + Q(-1)}{2}$ olacaktır.

• Adım 4: Seçenekleri Kontrol Edelim.

Bulduğumuz formül, seçeneklerden A seçeneği ile birebir aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.