Bir algoritma, girilen bir $N$ doğal sayısını aşağıdaki adımlara göre dönüştürüyor:
1. $N$'nin tüm asal çarpanlarını bul.
2. Bu asal çarpanların her birinin kuvvetini 1 artır.
3. Elde edilen yeni kuvvetleri kullanarak yeni bir sayı $N'$ oluştur. (Örnek: $12 = 2^2 \cdot 3^1$ ise, $N' = 2^{2+1} \cdot 3^{1+1} = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$)
Buna göre, hangi iki basamaklı $N$ sayısı için $N'$ sayısı 200'den büyük en küçük sayıdır?
A) 24
B) 36
C) 48
D) 60
İşte bu soruyu adım adım çözümü:
Öncelikle algoritmayı anlamak ve uygulamak için birkaç örnek yapalım. Algoritma, bir sayının asal çarpanlarına ayrılmasını, asal çarpanların kuvvetlerinin 1 artırılmasını ve bu yeni kuvvetlerle yeni bir sayı oluşturulmasını içeriyor.
* **Adım 1: Algoritmayı Anlamak ve Uygulamak**
* Örneğin, $N = 12$ için:
* Asal çarpanları: $2$ ve $3$.
* $12 = 2^2 \cdot 3^1$.
* Kuvvetleri 1 artır: $2+1 = 3$ ve $1+1 = 2$.
* $N' = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.
* **Adım 2: Seçenekleri Değerlendirmek**
Şimdi seçenekleri tek tek değerlendirelim ve $N'$ değerlerini bulalım. Amacımız, $N' > 200$ koşulunu sağlayan en küçük $N'$ değerini bulmak.
* **A) $N = 24$**
* $24 = 2^3 \cdot 3^1$
* Kuvvetleri 1 artır: $3+1 = 4$ ve $1+1 = 2$.
* $N' = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$. (Bu değer 200'den küçük)
* **B) $N = 36$**
* $36 = 2^2 \cdot 3^2$
* Kuvvetleri 1 artır: $2+1 = 3$ ve $2+1 = 3$.
* $N' = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$. (Bu değer 200'den büyük)
* **C) $N = 48$**
* $48 = 2^4 \cdot 3^1$
* Kuvvetleri 1 artır: $4+1 = 5$ ve $1+1 = 2$.
* $N' = 2^5 \cdot 3^2 = 32 \cdot 9 = 288$. (Bu değer 200'den büyük)
* **D) $N = 60$**
* $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
* Kuvvetleri 1 artır: $2+1 = 3$, $1+1 = 2$ ve $1+1 = 2$.
* $N' = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800$. (Bu değer 200'den büyük)
* **Adım 3: Sonucu Değerlendirmek**
$N'$ değerlerini karşılaştırdığımızda:
* $N = 24$ için $N' = 144$
* $N = 36$ için $N' = 216$
* $N = 48$ için $N' = 288$
* $N = 60$ için $N' = 1800$
$N' > 200$ koşulunu sağlayan en küçük $N'$ değeri $216$ ve bu değer $N = 36$ için elde ediliyor.
Cevap B seçeneğidir.
