Hadi bu ilginç soruyu adım adım çözelim ve asal sayılarla aramızdaki bağı güçlendirelim!
- ➗ İlk adım olarak, 180 sayısının tüm pozitif bölenlerini bulalım. Bunun için öncelikle 180'in asal çarpanlarına ayrılmış halini bulmalıyız: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.
- 🧮 Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için, asal çarpanlarının üslerini birer artırıp çarparız. Bu durumda, $(2+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ olur. Yani 180'in toplam 18 tane pozitif böleni vardır.
- 🌱 Şimdi 180'in asal bölenlerini bulalım. Asal çarpanlarına baktığımızda 180'in asal bölenleri 2, 3 ve 5'tir. Yani 3 tane asal böleni vardır.
- 🤔 Bizden istenen asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı. Toplam pozitif bölen sayısından asal bölenlerin sayısını çıkarırsak sonuca ulaşırız: $18 - 3 = 15$. Ancak burada 1 sayısını unutmamalıyız. 1 sayısı asal değildir ve tüm sayıların bölenidir. Bu yüzden asal olmayan bölenlere 1'i eklemeliyiz. Fakat 1 zaten tüm pozitif bölenlerin sayısının içinde sayıldığı için tekrar eklememize gerek yoktur.
- ⚠️ Fakat soruda bir tuzak var! 1 sayısı da asal olmadığı için, asal olmayan bölenler arasına dahildir. Bu nedenle cevabımız 15 değildir. Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı 15 değildir. Dikkatlice düşünürsek, 1 sayısını çıkarmamız gerekmektedir. Yani, 180'in asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı $18 - (2, 3, 5) = 18 - 3 = 15$'dir. Ancak 1 sayısı da asal olmadığından saymamız gerekir. O zaman, 15 adet asal olmayan + 1 (kendisi) = 16 değil, 15 adet asal olmayan bölenimiz vardır. Şimdi 1'i dahil edelim. 180'in bölenleri arasında 1 sayısı da vardır ve 1 asıl değildir. Bu nedenle 1'i de hesaba katmalıyız.
- 💡 180 sayısının tüm pozitif bölenleri şunlardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180. Bu bölenlerden 2, 3 ve 5 asal sayılardır. Geri kalanlar (1, 4, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180) ise asal değildir. Bu durumda asal olmayan 15 + 1 (1 kendisi) = 16 adet sayı var gibi duruyor. Ancak bizden istenen 180'nin asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı. 1 sayısı asal olmadığı için sayacağız. Ama bir dakika! Soruyu daha dikkatli okuyalım. Asal olmayan pozitif bölen sayısı dediği için, $18 - 3 = 15$ adet asal olmayan böleni vardır.
- ✅ Doğru Seçenek C'dır.
