10. Sınıf Bir Doğal Sayı ile Asal Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Test 1

Bir doğal sayının pozitif bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımı ile bulunur. Buna göre, pozitif bölen sayısı 9 olan en küçük doğal sayı kaçtır?

A) 36
B) 64
C) 100
D) 144

Haydi, bu ilginç soruyu adım adım çözelim ve pozitif bölen sayısının sırrını çözelim!

• ➗ Öncelikle, pozitif bölen sayısının nasıl bulunduğunu hatırlayalım. Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_n^{a_n}$ ise, pozitif bölen sayısı $(a_1+1) \cdot (a_2+1) \cdot ... \cdot (a_n+1)$ şeklinde hesaplanır.
• 🤔 Bizim istediğimiz, pozitif bölen sayısı 9 olan en küçük doğal sayı. O zaman $(a_1+1) \cdot (a_2+1) \cdot ... \cdot (a_n+1) = 9$ olmalı.
• 💡 9'u elde etmek için iki seçeneğimiz var: Ya tek bir sayının 9'a eşit olması, ya da iki sayının çarpımının 9'a eşit olması. Yani, $9 = 9$ veya $9 = 3 \cdot 3$.
• 1️⃣ İlk durumu ele alalım: $a_1 + 1 = 9$ ise, $a_1 = 8$ olur. Bu durumda sayımız $p_1^8$ şeklinde olacak. En küçük asal sayı olan 2'yi seçersek, sayımız $2^8 = 256$ olur.
• 2️⃣ İkinci durumu ele alalım: $(a_1 + 1) = 3$ ve $(a_2 + 1) = 3$ ise, $a_1 = 2$ ve $a_2 = 2$ olur. Bu durumda sayımız $p_1^2 \cdot p_2^2$ şeklinde olacak. En küçük asal sayılar olan 2 ve 3'ü seçersek, sayımız $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ olur.
• 🧐 Bulduğumuz iki sayıyı karşılaştıralım: 256 ve 36. 36 sayısı daha küçük olduğu için aradığımız cevap bu olmalı.
• ✅ Doğru Seçenek A'dır.