\( \theta \) açısı birim çember üzerinde III. bölgede bulunmaktadır. \( \sin\theta = -\frac{4}{5} \) olduğuna göre, \( \tan\theta \) değeri kaçtır?
A) \( \frac{3}{4} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, birim çember üzerinde III. bölgede bulunan bir $\theta$ açısının sinüs değerini biliyoruz ve tanjant değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.
1. Adım: Temel Trigonometrik Özdeşliği Kullanma
Trigonometride en temel özdeşliklerden biri $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$'dir. Bu özdeşliği kullanarak $\cos\theta$ değerini bulabiliriz. Bize $\sin\theta = -\frac{4}{5}$ olarak verilmiş.
Şimdi bu değeri özdeşlikte yerine yazalım:
$(-\frac{4}{5})^2 + \cos^2\theta = 1$
$\frac{16}{25} + \cos^2\theta = 1$
Şimdi $\cos^2\theta$'yı yalnız bırakalım:
$\cos^2\theta = 1 - \frac{16}{25}$
Paydaları eşitleyelim:
$\cos^2\theta = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}$
$\cos^2\theta = \frac{9}{25}$
Her iki tarafın karekökünü alırsak:
$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{9}{25}}$
$\cos\theta = \pm\frac{3}{5}$
2. Adım: Açının Bölgesine Göre İşaret Belirleme
Soruda $\theta$ açısının III. bölgede olduğu belirtilmiştir. Birim çemberde III. bölgede x-koordinatları (yani kosinüs değerleri) ve y-koordinatları (yani sinüs değerleri) negatiftir. Bu bilgiyi kullanarak $\cos\theta$'nın işaretini belirleyebiliriz.
III. bölgede $\cos\theta$ değeri negatif olmalıdır. Bu nedenle, $\cos\theta = -\frac{3}{5}$ değerini alırız.
3. Adım: $\tan\theta$ Değerini Hesaplama
Tanjantın tanımı $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ şeklindedir. Şimdi bulduğumuz $\sin\theta$ ve $\cos\theta$ değerlerini bu formülde yerine yazalım:
$\tan\theta = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$
Kesirleri sadeleştirirken, pay ve paydadaki eksi işaretleri birbirini götürür ve paydadaki 5'ler de sadeleşir:
$\tan\theta = \frac{4}{3}$
Böylece $\tan\theta$ değerini $\frac{4}{3}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
