cos(arccos(0.7)) ifadesinin değeri nedir?
A) 0.3Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için ters trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Özellikle arkosin (arccos) fonksiyonunun ne anlama geldiğini iyi anlamalıyız.
Öncelikle, $arccos(x)$ fonksiyonunun tanımını hatırlayalım. $arccos(x)$ (veya $cos^{-1}(x)$ olarak da gösterilir), kosinüsü $x$ olan açıyı veren fonksiyondur. Yani, eğer $y = arccos(x)$ ise, bu demektir ki $cos(y) = x$.
Burada dikkat etmemiz gereken önemli bir nokta, $arccos(x)$ fonksiyonunun tanım kümesinin $[-1, 1]$ olmasıdır. Soruda verilen $0.7$ değeri bu aralıkta olduğu için $arccos(0.7)$ ifadesi tanımlıdır.
Şimdi sorudaki ifadeye odaklanalım: $cos(arccos(0.7))$.
İfadenin iç kısmından başlayalım. $arccos(0.7)$ ifadesine bir isim verelim. Diyelim ki $y = arccos(0.7)$.
Yukarıdaki tanıma göre, eğer $y = arccos(0.7)$ ise, bu otomatik olarak $cos(y) = 0.7$ anlamına gelir. Yani, $y$ açısının kosinüsü $0.7$'dir.
Şimdi bu bilgiyi orijinal ifadeye geri yerleştirelim. Bizim ifademiz $cos(arccos(0.7))$ idi. $arccos(0.7)$ yerine $y$ yazdığımızda, ifade $cos(y)$ haline gelir.
Bir önceki adımda $cos(y) = 0.7$ olduğunu bulmuştuk. Dolayısıyla, $cos(arccos(0.7))$ ifadesinin değeri de $0.7$ olacaktır.
Genel olarak, bir fonksiyon ile onun ters fonksiyonu art arda uygulandığında, başlangıçtaki değere geri dönülür. Yani, $f(f^{-1}(x)) = x$ ve $f^{-1}(f(x)) = x$ (tanım kümeleri ve değer kümeleri uygun olduğunda). Bu soruda da $cos(arccos(x)) = x$ kuralını görmüş olduk, çünkü $0.7$ değeri $arccos$ fonksiyonunun tanım kümesinde ve $cos$ fonksiyonunun değer kümesinde yer almaktadır.
Bu durumda, $cos(arccos(0.7))$ ifadesinin değeri $0.7$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
