İç içe kökler formülü Test 1

8. \(\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}\) ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(3 - 2\sqrt{2}\)
B) \(4 - \sqrt{3}\)
C) \(2\sqrt{3} - 1\)
D) \(\sqrt{11} - \sqrt{6}\)

Sevgili öğrenciler, bu soruda köklü ifadeleri sadeleştirme becerimizi kullanacağız. Özellikle $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ şeklindeki ifadeleri sadeleştirmek için özel bir yöntemimiz var. Haydi, adım adım bu ifadeyi sadeleştirelim!

• Adım 1: İç kökün katsayısını düzenleme

İfademiz $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$. Kuralı uygulayabilmek için içteki köklü ifadenin (yani $\sqrt{2}$'nin) katsayısının $2$ olmasını isteriz. Şu an katsayı $12$. Bu $12$'yi $2 \cdot 6$ olarak düşünebiliriz. Yani ifademizi $\sqrt{17 - 2 \cdot 6\sqrt{2}}$ şeklinde yazabiliriz.

Şimdi $6\sqrt{2}$ ifadesindeki $6$'yı kökün içine alalım. Bir sayıyı kökün içine alırken karesini alırız. Yani $6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$.

Böylece ifademiz $\sqrt{17 - 2\sqrt{72}}$ şeklini alır. Artık kuralı uygulamaya hazırız!

• Adım 2: Toplamları $17$, çarpımları $72$ olan iki sayı bulma

Genel kuralımız şuydu: Eğer $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ şeklinde bir ifademiz varsa ve $x+y=a$ ile $x \cdot y=b$ koşullarını sağlayan $x$ ve $y$ sayıları bulabiliyorsak, bu ifade $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ olarak sadeleşir (burada $x > y$ olmalıdır ki sonuç pozitif çıksın).

Bizim ifademizde $a=17$ ve $b=72$. Şimdi çarpımları $72$, toplamları $17$ olan iki sayı arayalım:

• $1 \cdot 72 = 72$, $1+72 = 73$ (olmaz)
• $2 \cdot 36 = 72$, $2+36 = 38$ (olmaz)
• $3 \cdot 24 = 72$, $3+24 = 27$ (olmaz)
• $4 \cdot 18 = 72$, $4+18 = 22$ (olmaz)
• $6 \cdot 12 = 72$, $6+12 = 18$ (olmaz)
• $8 \cdot 9 = 72$, $8+9 = 17$ (Evet, bulduk!)

Demek ki aradığımız sayılar $9$ ve $8$'dir. ($x=9$, $y=8$ alalım çünkü $x>y$ olmalı.)

• Adım 3: Sadeleştirme işlemini tamamlama

Bulduğumuz $x=9$ ve $y=8$ sayılarını kuralda yerine koyarsak:

$\sqrt{17 - 2\sqrt{72}} = \sqrt{9} - \sqrt{8}$

Şimdi bu köklü ifadeleri hesaplayalım:

• $\sqrt{9} = 3$
• $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Sonuç olarak ifademiz $3 - 2\sqrt{2}$ olarak sadeleşir.

Bu sonuç seçeneklere baktığımızda A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.