Sevgili öğrenciler, bu soruda hem tam sayı hem de rasyonel sayı olan seçeneği bulmamız isteniyor. Öncelikle bu iki kavramı hatırlayalım:
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Pozitif doğal sayılar, negatif doğal sayılar ve sıfırdan oluşan sayılar kümesidir. Yani $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$ gibi sayılardır. Kesirli veya ondalıklı ifadeler (sıfır hariç) tam sayı değildir.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a/b$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada $a$ bir tam sayı, $b$ ise sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (örneğin, $5$ sayısı $5/1$ olarak yazılabilir). Ondalık gösterimi sonlu veya devirli olan sayılar rasyonel sayılardır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\sqrt{2}$: Bu sayı bir tam sayı değildir, çünkü $1^2=1$ ve $2^2=4$ olduğundan $\sqrt{2}$ bir tam sayıya eşit değildir. $\sqrt{2}$'nin ondalık açılımı $1.41421356...$ şeklinde sonsuz ve devirsizdir. Bu tür sayılara irrasyonel sayılar denir. Dolayısıyla, $\sqrt{2}$ rasyonel sayı değildir. Bu nedenle, $\sqrt{2}$ hem tam sayı hem de rasyonel sayı değildir.
- B) $\pi$: $\pi$ (pi sayısı) yaklaşık olarak $3.14159265...$ şeklinde sonsuz ve devirsiz bir ondalık açılıma sahiptir. Bu nedenle bir tam sayı değildir. Aynı zamanda, $\pi$ bir irrasyonel sayıdır, yani rasyonel sayı değildir. Bu nedenle, $\pi$ hem tam sayı hem de rasyonel sayı değildir.
- C) $-7$:
Tam sayı mı? Evet, $-7$ bir tam sayıdır. Negatif tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
Rasyonel sayı mı? Evet, $-7$ aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Çünkü $-7$ sayısını $a/b$ şeklinde, örneğin $-7/1$ olarak yazabiliriz. Burada $a = -7$ bir tam sayı ve $b = 1$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır.
Dolayısıyla, $-7$ hem tam sayı hem de rasyonel sayıdır. Bu seçenek aradığımız cevaptır.
- D) $3/4$:
Tam sayı mı? Hayır, $3/4$ bir tam sayı değildir. $3/4 = 0.75$ olduğu için tam sayılar kümesinde yer almaz.
Rasyonel sayı mı? Evet, $3/4$ zaten $a/b$ şeklinde yazılmış bir sayıdır ($a=3$, $b=4$). Bu nedenle rasyonel sayıdır.
Ancak, soruda hem tam sayı hem de rasyonel sayı olması istendiği için bu seçenek doğru değildir (tam sayı şartını sağlamaz).
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, hem tam sayı hem de rasyonel sayı olan seçeneğin C) $-7$ olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
