Hangi kümeler çifti için arada olma özelliği aynı şekilde geçerlidir?
A) Doğal sayılar - Tam sayılar
B) Tam sayılar - Rasyonel sayılar
C) Rasyonel sayılar - Reel sayılar
D) Doğal sayılar - Reel sayılar
Bu soruda bizden, "arada olma özelliği"nin aynı şekilde geçerli olduğu kümeler çiftini bulmamız isteniyor. Öncelikle "arada olma özelliği"nin ne anlama geldiğini açıklayalım:
Arada Olma Özelliği (Yoğunluk Özelliği): Bir kümenin elemanları arasında arada olma özelliği varsa, o kümeden seçtiğimiz herhangi iki farklı eleman arasında, yine o kümenin kendisine ait en az bir başka eleman bulunabilir demektir. Hatta bu tür kümelerde, iki farklı eleman arasında sonsuz çoklukta başka eleman bulunur. Bu özellik, kümenin sayı doğrusu üzerinde "boşluksuz" bir şekilde yayıldığını gösterir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Doğal sayılar ($\mathbb{N}$) - Tam sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılar kümesinde ($\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ veya bazı tanımlara göre $\{1, 2, 3, ...\}$) arada olma özelliği geçerli değildir. Örneğin, $1$ ve $2$ doğal sayıları arasında başka bir doğal sayı bulunmaz. Tam sayılar kümesinde ($\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$) de arada olma özelliği geçerli değildir. Örneğin, $-1$ ve $0$ tam sayıları arasında başka bir tam sayı bulunmaz. Her iki küme de bu özelliğe sahip değildir.
- B) Tam sayılar ($\mathbb{Z}$) - Rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}$): Tam sayılar kümesinde arada olma özelliği geçerli değilken, rasyonel sayılar kümesinde ($\mathbb{Q} = \{\frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}$) geçerlidir. Örneğin, $1$ ve $2$ rasyonel sayıları arasında $\frac{3}{2}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{5}{3}$ gibi sonsuz çoklukta rasyonel sayı bulunur. Genel olarak, $a < b$ olan herhangi iki rasyonel sayı için, $\frac{a+b}{2}$ de bir rasyonel sayıdır ve $a < \frac{a+b}{2} < b$ koşulunu sağlar. Bu durumda, kümelerden biri bu özelliğe sahipken diğeri sahip değildir, dolayısıyla aynı şekilde geçerli değildir.
- C) Rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}$) - Reel sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar kümesinde arada olma özelliği (yoğunluk özelliği) geçerlidir. Herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı bulunur. Reel sayılar kümesinde ($\mathbb{R}$) de arada olma özelliği (yoğunluk özelliği) geçerlidir. Herhangi iki farklı reel sayı arasında sonsuz çoklukta reel sayı bulunur. Örneğin, $a < b$ olan herhangi iki reel sayı için, $\frac{a+b}{2}$ de bir reel sayıdır ve $a < \frac{a+b}{2} < b$ koşulunu sağlar. Her iki küme de arada olma özelliğine sahiptir. Dolayısıyla bu özellik her iki küme için de "aynı şekilde geçerlidir".
- D) Doğal sayılar ($\mathbb{N}$) - Reel sayılar ($\mathbb{R}$): Doğal sayılar kümesinde arada olma özelliği geçerli değilken, reel sayılar kümesinde geçerlidir. Bu durumda da kümelerden biri bu özelliğe sahipken diğeri sahip değildir, dolayısıyla aynı şekilde geçerli değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, hem rasyonel sayılar kümesinin hem de reel sayılar kümesinin arada olma (yoğunluk) özelliğine sahip olduğunu görmekteyiz. Bu nedenle, bu özellik her iki küme için de aynı şekilde geçerlidir.
Cevap C seçeneğidir.
