Aşağıdaki kümelerden hangisi arada olma özelliğine sahiptir?
A) A = {1, 2, 3, 4, 5}Bir kümenin arada olma özelliğine (yoğunluk özelliğine) sahip olması demek, kümenin herhangi iki farklı elemanı arasında, o kümenin kendisine ait en az bir başka elemanın bulunması demektir. Yani, eğer bir $S$ kümesi bu özelliğe sahipse, her $a, b \in S$ ve $a < b$ için, $a < c < b$ olacak şekilde bir $c \in S$ elemanı vardır.
A) $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
Bu küme sonlu bir kümedir ve elemanları tam sayılardır. Örneğin, $1$ ve $2$ elemanlarını alalım. $1 < c < 2$ olacak şekilde $A$ kümesine ait hiçbir $c$ elemanı yoktur. Bu nedenle, $A$ kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
B) $B = \{x \in Z: -5 < x < 5\}$
Bu küme $B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ olarak yazılabilir. Bu da sonlu bir tam sayılar kümesidir. Örneğin, $0$ ve $1$ elemanlarını alalım. $0 < c < 1$ olacak şekilde $B$ kümesine ait hiçbir $c$ elemanı yoktur. Bu nedenle, $B$ kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
C) $C = \{1/n: n \in N\}$
Bu kümenin elemanları $C = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, ...\}$ şeklindedir. Bu küme sonsuz olmasına rağmen, elemanları arasında boşluklar vardır. Örneğin, $1/3$ ve $1/2$ elemanlarını alalım. Bu iki eleman arasında $C$ kümesine ait bir eleman olup olmadığını kontrol edelim. Yani, $1/3 < c < 1/2$ olacak şekilde bir $c = 1/n$ elemanı var mı? Eğer $1/3 < 1/n < 1/2$ ise, bu eşitsizliği ters çevirirsek $2 < n < 3$ olur. Ancak $n$ bir doğal sayı olduğundan, $2$ ile $3$ arasında bir doğal sayı yoktur. Dolayısıyla, $C$ kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
D) $D = \{x \in Q: 0 < x < 1\}$
Bu küme, $0$ ile $1$ arasındaki tüm rasyonel sayıları içerir. Rasyonel sayılar kümesi ($\mathbb{Q}$) yoğun (dense) bir kümedir. Bu, herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı bulunabileceği anlamına gelir. $D$ kümesi de rasyonel sayılardan oluştuğu için bu özelliğe sahiptir. Örneğin, $a$ ve $b$, $D$ kümesinden alınan iki farklı eleman olsun ($0 < a < b < 1$). Bu durumda, $c = \frac{a+b}{2}$ elemanı hem rasyoneldir (çünkü $a$ ve $b$ rasyoneldir) hem de $a < c < b$ koşulunu sağlar. Ayrıca, $0 < a < c < b < 1$ olduğundan, $c$ elemanı da $D$ kümesinin içindedir. Bu özellik, $D$ kümesinin arada olma özelliğine sahip olduğunu gösterir.
Cevap D seçeneğidir.
