Açıortay Özellikleri Nelerdir? Test 2

ABC üçgeninde [AD] açıortay, |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 18 cm'dir. Açıortay teoremine göre |BD| ve |DC| uzunlukları sırasıyla kaç cm'dir?

A) 6 ve 12
B) 7,2 ve 10,8
C) 8 ve 10
D) 9 ve 9

Bu soruda, bir üçgende açıortay teoremini kullanarak kenar uzunluklarını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Açıortay Teoremini Hatırlayalım: Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler. Yani, ABC üçgeninde [AD] açıortay ise, $|AB|$ kenarının $|AC|$ kenarına oranı, $|BD|$ kenarının $|DC|$ kenarına oranına eşittir. Matematiksel olarak bunu şu şekilde ifade ederiz:
• $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$
• 2. Verilen Değerleri Yerine Yazalım: Soruda bize verilen uzunluklar şunlardır: $|AB| = 10$ cm, $|AC| = 15$ cm ve $|BC| = 18$ cm. Bu değerleri açıortay teoremindeki formülümüze yerleştirelim:
• $\frac{10}{15} = \frac{|BD|}{|DC|}$
• 3. Oranı Sadeleştirelim: Eşitliğin sol tarafındaki oranı sadeleştirebiliriz. Hem 10'u hem de 15'i 5'e bölebiliriz:
• $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$
• Yani, $\frac{2}{3} = \frac{|BD|}{|DC|}$ olur. Bu eşitlikten, $|BD|$ uzunluğuna $2k$ dersek, $|DC|$ uzunluğu $3k$ olacaktır (burada $k$ bir orantı sabitidir).
• 4. Toplam Uzunluğu Kullanalım: [AD] açıortayı, [BC] kenarını D noktasında kestiği için, $|BD|$ ve $|DC|$ uzunluklarının toplamı, $|BC|$ kenarının uzunluğuna eşit olmalıdır. Yani:
• $|BD| + |DC| = |BC|$
• $2k + 3k = 18$
• $5k = 18$
• 5. $k$ Değerini Bulalım: Eşitliği çözerek $k$ değerini bulabiliriz:
• $k = \frac{18}{5}$
• $k = 3.6$ cm
• 6. $|BD|$ ve $|DC|$ Uzunluklarını Hesaplayalım: Şimdi bulduğumuz $k$ değerini yerine koyarak $|BD|$ ve $|DC|$ uzunluklarını hesaplayalım:
• $|BD| = 2k = 2 \times 3.6 = 7.2$ cm
• $|DC| = 3k = 3 \times 3.6 = 10.8$ cm
• Gördüğümüz gibi, $|BD| = 7.2$ cm ve $|DC| = 10.8$ cm'dir. Bu değerleri topladığımızda $7.2 + 10.8 = 18$ cm olup, $|BC|$ uzunluğunu vermektedir, bu da çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.

Cevap B seçeneğidir.